O valor dado (x = 0) corresponde ao eixo y, uma vez que todos os pontos pertencentes a este eixo possuem a abscissa (x) sendo igual a 0. Portanto, temos que a área é essa limitada superiormente por y = 1, inferiormente por y = tg(x) e lateralmente por x = 0 e outro limite que vamos encontrar.
Para encontrar esse outro limite lateral, vamos encontrar o valor em que y = 1, na função y = tg(x):
[tex]1 = \tg(x) \: \to \: \arctan(1) = x \\ \\ \boxed{ x = \frac{\pi}{4} }[/tex]
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O valor dado (x = 0) corresponde ao eixo y, uma vez que todos os pontos pertencentes a este eixo possuem a abscissa (x) sendo igual a 0. Portanto, temos que a área é essa limitada superiormente por y = 1, inferiormente por y = tg(x) e lateralmente por x = 0 e outro limite que vamos encontrar.
Para encontrar esse outro limite lateral, vamos encontrar o valor em que y = 1, na função y = tg(x):
[tex]1 = \tg(x) \: \to \: \arctan(1) = x \\ \\ \boxed{ x = \frac{\pi}{4} }[/tex]
Portanto esse é o nosso outro limite.
Montando a integral, temos:
[tex] \int \limits_{}^{ } 1 - \tg(x) \: dx = x + \ln( | \cos(x)|) \\ [/tex]
Aplicando os limites de integração:
[tex] \left( \frac{\pi}{4} + \ln \left( \left| \cos \left( \frac{\pi}{4} \right ) \right| \right) - (0 + \ln( | \cos(0)| \right) \\ \\ \frac{\pi}{4 } + \ln \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) - 0 - \ln(1) \\ \\ \boxed{ \frac{\pi}{4 } + \ln \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)} \: \: ou \: \: \boxed{ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2)}[/tex]