✅ A série [tex] \rm \sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n\log_{n}e [/tex] converge condicionalmente.

☁️₁ Critério de Leibniz: Seja [tex] \rm \sum (-1)^n a_n[/tex] uma série de termos alternados. Caso:

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \bullet~a_{n+1} \leqslant a_n\,,~\forall\: n \\\\\displaystyle\rm \bullet~\lim_{n\to\infty} a_n = 0 \end{array} [/tex]

Dizemos que a série alternada converge.

☁️₂ Critério da comparação: Seja [tex] \rm \sum a_n [/tex] a série em questão e [tex] \rm \sum b_n [/tex] uma série auxiliar de comportamento conhecido. Se [tex] \rm b_n \geqslant a_n [/tex] para todo [tex] \rm n[/tex], então:

• ‌[tex] \rm \sum b_n[/tex] diverge se [tex] \rm \sum a_n [/tex] divergir;
• ‌[tex] \rm \sum a_n[/tex] converge se [tex] \rm \sum b_n [/tex] convergir;

✍️ Solução: Observe que a série:

[tex] \Large\underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} (-1)^n \log_n e \qquad}}} [/tex]

é uma série alternada, daí podemos utilizar o critério de Leibniz para verificar sua convergência. Destarte, seja [tex] \rm a_n = \log_n e[/tex]. Logo, partindo da definição de logaritmo:

“Define-se por logaritmo, o expoente que eu devo dar a uma base para que isto seja igual ao logaritmando”.

❏ Assim:

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \log_n e = x \Leftrightarrow n^x = e\end{array} [/tex]

Vemos a partir daí que para todo [tex] \rm n [/tex] natural ( [tex] \rm \forall\: n\in \mathbb{N}[/tex] ), o sucessor [tex] \rm n+1 [/tex] produzirá um logaritmo menor a cada iteração, pois será necessário um valor menor de [tex] \rm x [/tex] para compensar o crescimento de [tex] \rm n [/tex], lembrando que tudo isso é igual a [tex] \rm e[/tex]. Sendo assim:

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \checkmark~ a_{n+1} \leqslant a_n\,,~\forall\: n \end{array} [/tex]

E ainda, tomando o limite:

[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\lim_{n\to+\infty} \log_n e\end{array} [/tex]

⚠️ Antes de analisar esse limite, bora fazer uma coisa que facilita demais a nossa vida. Vamos mudar a base desse logaritmo, pois não é interessante lidar com essa base à variável discreta de agora em diante. Convém então usar a base comum do cálculo que é o número [tex] \rm e [/tex].

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \log_n e = \dfrac{\log_e e}{\log_e n} = \dfrac{1}{\ln(n)} \end{array} [/tex]

Então, o limite

[tex] \large\begin{array}{lr}\checkmark~\displaystyle\rm\lim_{n\to+\infty} \log_n e =\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln(n)} = 0 \end{array} [/tex]

ℹ️ Portanto, a série com termos alternados converge!

❏ Vejamos se a convergência absoluta ocorre. Para isso, vamos tomar o módulo:

[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \left|(-1)^n \frac{1}{\ln(n)} \right| = \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{\ln(n)} \end{array} [/tex]

Podemos comparar a série acima com a série harmônica, a qual sabemos que diverge:

[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{n} \end{array} [/tex]

Note que:

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm n \geqslant \ln(n) \Rightarrow \dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{1}{\ln(n)} \\\\\displaystyle\rm \therefore~\sum_{n\,=\,2}^{+\infty}\frac{1}{n} \leqslant \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{\ln(n)} \end{array} [/tex]

❏ No entanto, se [tex] \rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty}\frac{1}{n} [/tex] diverge e é menor que [tex] \rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{\ln(n)} = \sum a_n [/tex], então [tex] \rm \sum a_n [/tex] também diverge.

✔️ Então, a série dada converge condicionalmente. Isto é, sua convergência se limita à condição desta ser alternada.

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre séries e sequências infinitas, convergência absoluta e convergência condicional:

• brainly.com.br/tarefa/51279415

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]