Se : ℝ → ℝ é uma função par e integrável em [−, ], usando o método de substituição, mostre que∫ () =.... Pergunta de ideia deFrancisco28111

May 2019 1 167 Report

Se : ℝ → ℝ é uma função par e integrável em [−, ], usando o método de substituição, mostre que

∫ () = 2 ∫ () �

Em seguida, calcule:
. ∫ ²
1
−1
. ∫
4 + ² + 1
3
−3
. ∫ cos(2)

alguém mim ajuda! deixei o anexo também em foto.

alguém mim ajuda por favor!

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Alissonsk

Vamos seguir alguns passos para demonstrar essa generalização. O primeiro é que podemos separar a integral em duas integrais usando a seguinte propriedade.

$\mathsf{\boxed{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=\displaystyle\int_{-a}^{0}f(x)~dx+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}}$

Além disso, podemos "mudar de posição" os intervalos da primeira integral. Ou seja,

$\mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=-\displaystyle\int_{0}^{-a}f(x)~dx+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}$

Depois disso é só fazer a substituição de u = - x, onde du = - dx e u = a. Daí vem,

$\mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=\displaystyle\int_{0}^{a}f(-u)~du+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}$

Como a função é par, então f(-u) = f(u). Logo,

$\mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=\displaystyle\int_{0}^{a}f(u)~du+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}\\ \\ \\ \mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=2\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}}$

Como queríamos demonstrar.

a ) Resolveremos essa integral diretamente sem usar a propriedade que demonstramos, mas se você tem em mente a noção de função par e ímpar conseguirá resolver tranquilamente. Para verificar se uma função é ímpar ou par basta considerar f(-x), se f(x-)=f(x)então a função é par, se f(-x)=-f(x), então a função é ímpar. Toda integral de funções ímpares em intervalos simétricos é igual a 0.

$\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2~dx=\dfrac{x^3}{3}]_{-1}^{1}=\dfrac{1}{3}+\frac{1}{3}=\dfrac{2}{3}}$