Resposta:

a) [tex]\lim_{x \to \ 1} \frac{x^2+x-2}{x^2+2x-3} = \frac{3}{4}[/tex]

b) [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x-7}{2x^2+1} = \frac{1}{2}[/tex]

Explicação passo a passo:

Tanto na letra a quanto na letra b não podemos fazer substituição simples dos valores pois cairemos em indeterminações matemáticas.

Portanto, teremos que utilizar algebrismos em cada um para escapar das indeterminações.

a) Neste limite teremos que fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Por se tratarem de polinômios de segundo grau, podemos utilizar soma e produto, ficando assim:

[tex]\lim_{x \to \ 1} \frac{x^2+x-2}{x^2+2x-3} = \lim_{x \to \1} \frac{(x-1(x+2))}{(x-1)(x+3)}[/tex]

Cancelando (x-1) ficamos com:

[tex]\lim_{x \to \1} \frac{x+2}{x+3}[/tex]

Que finalmente podemos calcular por substituição simples:

[tex]\frac{x+2}{x+3} = \frac{1+2}{1+3} =\frac{3}{4}[/tex]

b) Neste limite teremos que, primeiramente eliminar os termos independentes pois não fazem qualquer influência quando estamos tratando com x tendendo ao infinito:

[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x-7}{2x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x}{2x^2}[/tex]

Agora, aplicamos fator em evidência:

[tex]\lim_{x \to \infty} x^2 (\frac{1+\frac{3}{x} }{2} ) \to \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{3}{x} }{2}[/tex]

E finalmente aplicar a substituição simples:

[tex]\frac{1+\frac{3}{ \infty} }{2} = \frac{1+0}{2} =\frac{1}{2}[/tex]

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!

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Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que vamos realizar, podemos concluir que os valores de cada limite são 3/4 e 1/2.

Nosso objetivo é encontrar o valor desses dois limites:

[tex]\boxed{\displaystyle\bf a)~\lim _ {x\to1} \dfrac{x^2+x-2}{x^2+2x-3} }\\\\ \boxed{\displaystyle \bf b)~\lim _ {x\to\infty}\dfrac{x^2+3x-7}{2x^2+1}} [/tex]

Vamos resolver os limites separadamente, ou seja, primeiro vamos encontrar o valor do limite a. Para resolver este tipo de limites vamos tentar substituir diretamente o valor que x tende neste limite em nossa expressão, se substituirmos todos os valores de x por 1 no limite a, obtemos:

[tex]\displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{1^2+1-2}{1^2+2(1)-3} \\\\\\ \displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{1+1-2}{1+2-3}\\\\\\ \displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{0}{0}[/tex]

Pudemos ver que o valor desse limite substituindo diretamente o valor de x por 1 em nossa expressão será igual a 0/0, lembremos que dividir por 0 é um valor indeterminado no mundo da matemática já que 0/0 é indeterminado devemos encontrar o valor do seguinte limite usando alguma ferramenta matemática, essas ferramentas podem ser fatoração, divisão de polinômios ou, em casos mais extremos, o método de L'Hospital.

No nosso caso usamos a fatoração, o que fazemos é fatorar as duas partes da expressão, tanto a expressão acima quanto abaixo é igual ao produto de dois polinômios de grau 1, ou seja, essa expressão é igual:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{x^2+2x-3}\\\\\\ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+3)} [/tex]

Se fizermos esta multiplicação obteremos o mesmo resultado e a mesma expressão, eliminaremos os termos semelhantes e obteremos:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(x-1)}(x+2)}{\cancel{(x-1)}(x+3)}\\\\\\ \displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{x+2}{x+3}[/tex]

Esta expressão é equivalente à expressão anterior, agora o que vamos fazer é ver o resultado que obtemos substituindo x por 1 nesta nova expressão.

[tex] \displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{1+2}{1+3}\\\\\ \boxed{\displaystyle \bf \lim_{x\to1}\dfrac{3}{4}}[/tex]

Vemos que o valor desta expressão é 3/4, isso significa que o valor da expressão original será igual a 3/4.

O próximo limite a resolver é: [tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+3x-7}{2x^2+1} [/tex]

Vamos ver o que é igual a substituir x por infinito em toda a nossa expressão, se fizermos a substituição obtemos:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\infty)^2+3(\infty)-7}{2(\infty)^2+1} \\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\infty}{\infty}[/tex]

Dividir por infinito é indeterminado no mundo da matemática, poderíamos pensar que infinito dividido por infinito é igual a 1, mas não, pois não podemos saber se ambos os infinitos são iguais, pois são números muito grandes.

O que vou fazer é dividir a expressão inteira pelo termo com o maior expoente, no nosso caso seria x ao quadrado, então dividindo todos os termos por x^2 obtemos:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}-\frac{7}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} \\ \\ \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{3}{x}-\frac{7}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}}[/tex]

• Se substituirmos agora o valor de x por infinito temos:

[tex] \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{3}{(\infty)}-\frac{7}{(\infty)^2}}{2+\frac{1}{(\infty)^2}}[/tex]

Por definição, um número que não é igual a infinito e é dividido por infinito será igual a 0, já que um número relativamente pequeno dividido por um número maior se aproxima de 0, então qualquer número dividido por infinito se aproxima de 0.

[tex] \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+0+0}{2+0}\\\\\\ \boxed{\displaystyle\bf \lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{2}}[/tex]

Portanto, este limite é igual a 1/2.