Resposta:   alternativa a) 4/9.

Explicação passo a passo:

Seja C um cubo no espaço e

     V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}     (i)

o conjunto de seus oito vértices.

Conforme o enunciado, o conjunto A é o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos do cubo C.

Como cada reta corresponde biunivocamente a exatamente um par de vértices, podemos representar o conjunto A da seguinte forma:

     A = {{x, y}:   x, y ∈ V   e   x ≠ y}     (ii)

A quantidade de elementos de A (ou cardinalidade de A) é a quantidade de todos os subconjuntos de V formados por exatamente dois elementos.

Como V possui 8 (oito) elementos, a quantidade de elementos de A é dada por

    [tex]\#(A)=C_{8,\,2}=\dfrac{8\cdot 7}{2\cdot 1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \#(A)=28\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

ou seja, podemos formar 28 retas distintas com os 8 vértices de um cubo.

• Espaço amostral (Ω):

Nesta questão, o espaço amostral Ω é o conjunto de todos os pares de retas possíveis de serem formadas por vértices do cubo C, ou seja, todos os subconjuntos de A formados por exatamente dois elementos:

     Ω = {{r, s}:   r, s ∈ A   e   r ≠ s}     (iv)

Como A possui 28 elementos, a quantidade de elementos do espaço amostral é

     #(Ω) [tex]=C_{28,\,2}=\dfrac{28\cdot 27}{2\cdot 1}[/tex]

     ⟺   #(Ω) = 378     (v)

ou seja, existem 378 maneiras para escolher-se duas retas distintas de A.

• Evento E: Um par de retas escolhido se intersecta em um vértice.

O evento E é o conjunto formado por todos os pares de retas em Ω que são concorrentes entre si:

     E = {{r, s} ∈ Ω:   r e s são concorrentes}     (vi)

Sejam X, Y, Z três vértices distintos do cubo C.

Considere o triângulo XYZ formado. A este triângulo, podemos associar três pares distintos de retas concorrentes, ou seja, retas com exatamente um ponto em comum, isso porque

     [tex]C_{3,\,2}=\dfrac{3\cdot 2}{2\cdot 1}=3[/tex]

e os pares de retas concorrentes do triângulo XYZ são

     {{{X, Y}, {X, Z}},  {{X, Y}, {Y, Z}},  {{X, Z}, {Y, Z}}}

Como os vértices do cubo são três a três não-colineares, então a quantidade de pares de retas concorrentes deve ser igual a 3 vezes a quantidade de triângulos que podemos formar tomando três vértices quaisquer do cubo.

Portanto, a quantidade de elementos do evento E é

     [tex]\#(E)=C_{3,\,2}\cdot C_{8,\,3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \#(E)=3\cdot \dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \#(E)=3\cdot 56\\\\ \Longleftrightarrow\quad \#(E)=168\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]

e a probabilidade pedida é

     [tex]p(E)=\#(E)/[/tex]#(Ω)

     [tex]\Longrightarrow\quad p(E)=\dfrac{168}{378}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\boxed{~p(E)=\dfrac{4}{9}~}[/tex]

sendo esta a resposta.

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Bons estudos! :-)