Produtos notáveis:

• Trinômio quadrado perfeito: o quadrado de uma soma.

     [tex]x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

• Diferença entre quadrados:

     [tex]x^2-y^2=(x-y)\cdot (x+y)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Seja

     [tex]E_n=n^4+4^n\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

uma sequência numérica, com n natural, n > 1.

Se n for par, obviamente o termo obtido na sequência será par e maior que 2, portanto composto.

Logo, nos interessa verificar o caso em que n é ímpar, ou seja

     [tex]n=2q+1\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

para algum q natural, q ≥ 1.

Substituindo na lei de formação (iii) temos

     [tex]\Longrightarrow\quad E_{2q+1}=(2q+1)^4+4^{2q+1}\\\\ =(2q+1)^4+(2^2)^{2q+1}\\\\ =(2q+1)^4+2^{2(2q+1)}\\\\ =(2q+1)^4+2^{4q+2}\\\\ =(2q+1)^4+2^{4q}\cdot 2^2\\\\ =(2q+1)^4+4\cdot (2^q)^4\qquad\mathrm{(v)}[/tex]

Para uma notação mais confortável, façamos [tex]2^q=m.[/tex] Substituindo acima, a expressão fica

     [tex]=(2q+1)^4+4m^4\\\\ =n^4+4m^4\\\\ =(n^2)^2+(2m^2)^2\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]

Para completarmos o quadrado na expressão (vi) acima, comparamos com o quadrado de uma soma em (i).

O primeiro termo é [tex]x=n^2[/tex] e o segundo termo é [tex]y=2m^2.[/tex]

Para ser um quadrado perfeito, falta aparecer o termo [tex]2xy=2\cdot n^2\cdot (2m^2)=4n^2m^2.[/tex]

Some e subtraia o termo [tex]4n^2m^2[/tex] que falta à expressão (vi), e ela fica

     [tex]=(n^2)^2+(2m^2)^2+4n^2m^2-4n^2m^2\\\\ =(n^2+2m^2)^2-4n^2m^2\\\\ =(n^2+2m^2)^2-(2nm)^2\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]

Agora fatore a diferença entre quadrados aplicando a fórmula (ii), com [tex]x=n^2+2m^2[/tex] e [tex]y=2nm:[/tex]

     [tex]=(n^2+2m^2-2nm)\cdot (n^2+2m^2+2nm)\\\\ =[(2q+1)^2+2\cdot (2^q)^2-2(2q+1)(2^q)]\cdot [(2q+1)^2+2\cdot (2^q)^2+2(2q+1)(2^q)]\\\\ =[(2q+1)^2+2\cdot 2^{2q}-(2q+1)\cdot 2^{q+1}]\cdot [(2q+1)^2+2\cdot 2^{2q}+(2q+1)\cdot 2^{q+1}]\\\\ =[(2q+1)^2+2^{2q+1}-(2q+1)\cdot 2^{q+1}]\cdot [(2q+1)^2+2^{2q+1}+(2q+1)\cdot 2^{q+1}]\qquad\mathrm{(viii)}[/tex]

Em (viii), temos a expressão escrita como um produto entre dois fatores, e para q ≥ 1, cada um deles é um natural maior que 1. Portanto,

     [tex]E_{2q+1}=[(2q+1)^2+2^{2q+1}-(2q+1)\cdot 2^{q+1}]\cdot [(2q+1)^2+2^{2q+1}+(2q+1)\cdot 2^{q+1}][/tex]

é composto para todo q natural, q ≥ 1.     ■

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