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Alguns teoremas com demonstrações prévias

[Teorema 1] Seja λ um número real, λ > 1. Então, λ² > λ.

     [Demonstração] Se λ > 1 e 1 > 0, pela transitividade da relação >, temos λ > 0.

Além disso, se λ > 1, então temos também λ − 1 > 0.

No conjunto dos reais, o produto de dois positivos é positivo. Logo,

     ⟹   λ · (λ − 1) > 0

     ⟹   λ² − λ > 0

     ⟹   λ² > λ     □

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[Teorema 2] Seja λ um número real, λ > 1. Então, [tex]\lambda^n\ge \lambda,[/tex] para todo n ∈ ℕ*.

     [Demonstração] Será feita pelo Principio da Indução Finita.

• O caso base é satisfeito, pois para n = 1, temos λ¹ = λ ≥ λ.

• Suponha que a desigualdade [tex]\lambda^k\ge \lambda[/tex] seja válida para algum k ≥ 1 (hipótese de indução). Segue que

     [tex]\Longrightarrow\quad \lambda^k\cdot \lambda\ge \lambda\cdot \lambda\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^{k+1}\ge \lambda^2>\lambda\quad\mathsf{(pelo~Teorema~1)}\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^{k+1}\ge \lambda[/tex]

Portanto, [tex]\lambda^n\ge \lambda,[/tex] para todo n ∈ ℕ*.     □

[Corolário 2.1] Seja λ um número real, λ > 1. Então, [tex]\lambda^n>1,[/tex] para todo n ∈ ℕ*.

     [Demonstração] De fato, pelo Teorema 2, temos [tex]\lambda^n\ge \lambda.[/tex] Mas por hipótese, temos λ > 1. Portanto, [tex]\lambda^n\ge \lambda>1,[/tex] para todo n ∈ ℕ*.      □

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[Teorema 3] Sejam λ um número real, λ > 1 e m, n ∈ ℕ*. Então, [tex]\lambda^m=\lambda^n[/tex] se e somente se m = n.

     [Demonstração]

     (⟸)   Se m = n, temos [tex]\lambda^m=\lambda^n.[/tex]

     (⟹)   Por outro lado, suponha que [tex]\lambda^m=\lambda^n,[/tex] e suponha por absurdo que m ≠ n. Sem perda de generalidade, avaliemos o caso em que m > n.

Se m > n, então, pela definição da relação >, existe k ∈ ℕ*, tal que m = n + k.

Substituindo m por n + k, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad \lambda^{n+k}=\lambda^n\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^n\cdot \lambda^k=\lambda^n\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^k=1[/tex]

(absurdo, pois contradiz o Corolário 2.1).

A demonstração para o caso em que m < n é análoga.

Portanto, m = n.     □

Obs.: O Teorema 3 evidencia que a função exponencial de base maior que 1 é injetiva sobre os naturais.

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Por fim, vamos à demonstração do teorema enunciado nesta tarefa.

[Teorema 4] Sejam λ um número real, λ > 1 e m, n ∈ ℕ*. Então, [tex]\lambda^m>\lambda^n[/tex] se e somente se m > n.

     [Demonstração]

     (⟸)   Se m > n, pela definição da relação >, existe k ∈ ℕ*, tal que m = n + k. Logo,

     [tex]\Longrightarrow\quad \lambda^m=\lambda^{n+k}\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^m=\lambda^n\cdot \lambda^k>\lambda^n\cdot 1\quad\mathsf{(pelo~Corol\acute{a}rio~2.1)}\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^m>\lambda^n[/tex]

     (⟹)   Por outro lado, suponha que [tex]\lambda^m>\lambda^n.[/tex] Mostraremos que m não pode ser nem igual, nem menor que n. Analisemos os casos possíveis:

• Caso 1:   m = n.

Se m = n, então temos [tex]\lambda^m=\lambda^n[/tex]

(absurdo, pois contradiz a hipótese de que [tex]\lambda^m>\lambda^n[/tex]).

• Caso 2:   m < n.

Pela definição da relação <, então existe k ∈ ℕ*, tal que n = m + k. Portanto,

     [tex]\Longrightarrow\quad \lambda^n=\lambda^{m+k}\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^n=\lambda^m\cdot \lambda^k>\lambda^m\cdot 1\quad\mathsf{(pelo~Corol\acute{a}rio~2.1)}\\\\ \Longrightarrow\quad \lambda^n>\lambda^m[/tex]

(absurdo, pois também contradiz a hipótese de que [tex]\lambda^m>\lambda^n[/tex]).

Portanto, pela tricotomia, devemos ter m > n.     ■

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Considerando λ  um número real fixado e m, n ∈ N mostramos que  [tex]$\lambda^m > \lambda^n$[/tex] se, e somente se, [tex]$m > n$[/tex].

Inequação Exponencial

Para demonstrar que [tex]\lambda^m > \lambda^n[/tex] se e somente se m>n para [tex]\lambda > 1[/tex] e [tex]m,n \in \mathbb{N}[/tex], podemos começar provando que [tex]\lambda^m / \lambda^n > 1[/tex] se e somente se m>n. Podemos reescrever a expressão como:

[tex]\dfrac{\lambda^m}{\lambda^n} > 1[/tex]

Multiplicando ambos os lados por [tex]\lambda^n[/tex], temos:

[tex]\lambda^m > \lambda^n[/tex]

Agora, se [tex]\lambda > 1[/tex], então temos que [tex]\lambda^k[/tex] é uma função crescente de k para [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]. Isso significa que se m>n, então [tex]\lambda^m > \lambda^n[/tex], pois a função cresce com o aumento de k.

Por outro lado, se [tex]\lambda^m > \lambda^n[/tex], então temos que [tex]\lambda^m / \lambda^n > 1[/tex]. Se [tex]\lambda > 1[/tex], então [tex]\lambda^k[/tex] é uma função crescente de k para [tex]k \in \mathbb{N}[/tex], o que significa que m>n.

Portanto, concluímos que [tex]\lambda^m > \lambda^n[/tex] se e somente se m>n para [tex]\lambda > 1[/tex] e m,n [tex]\in \mathbb{N}[/tex].

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