✅ Do cálculo do limite resulta que, para a ≠ 0

[tex] \displaystyle\large\rm\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{a^2}} [/tex]

☁️ Teorema: Se [tex] \rm f [/tex] é uma função contínua em [tex] \rm x = \alpha [/tex], então

[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \lim_{x\to\alpha} f(x) = f(\alpha) \qquad}}} [/tex]

✍️ Solução: Seja

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a},~a\neq0 \end{array} [/tex]

Note que [tex] \rm f [/tex] é contínua em [tex] \rm x = 0 [/tex], pois [tex] \rm 0 \in \mathbb{D}om(f) [/tex] e para [tex] \rm x [/tex] tendendo a zero, [tex] \rm f(x) [/tex] tende a [tex] \rm f(0) [/tex]. Portanto

[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \lim_{x\to0} f(x) &=\rm f(0) \\\\&=\rm \dfrac{\sqrt[3]{0}-\sqrt[3]{a}}{0-a} \\\\&=\rm \dfrac{-\sqrt[3]{a}}{-a}\\\\&=\rm \dfrac{a^{\tfrac{1}{3}}}{a} \\\\&=\rm a^{\tfrac{1}{3}-1} \\\\&=\rm a^{\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{3}} \\\\&=\rm a^{-\tfrac{2}{3}} \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\therefore\:\displaystyle\rm \lim_{x\to0} f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre funções contínuas, limites:

• brainly.com.br/tarefa/49019770

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]