A 100ª derivada da função f(x) = cos(x) é igual a cos(x).
Indução matemática
Para encontrar a 100ª derivada da função f(x) = cos(x), primeiro observaremos o padrão para as primeiras derivadas e depois usaremos a indução para generalizar o resultado. As derivadas de cos(x) são as seguintes:
1ª derivada: f'(x) = -sen(x)
2ª derivada: f''(x) = -cos(x)
3ª derivada: f'''(x) = sen(x)
4ª derivada: f''''(x) = cos(x)
existe um padrão que se repete a cada quatro derivadas. A 100ª derivada estará relacionada a cos(x) novamente. Especificamente:
100ª derivada: f^(100)(x) = cos(x)
Agora, vamos usar a indução para provar esse padrão:
Passo 1: Caso Base
Para n = 1, a 1ª derivada é f'(x) = -sen(x), que corresponde ao padrão.
Passo 2: Hipótese Indutiva
Suponhamos que para algum inteiro positivo k, a k-ésima derivada de cos(x) segue o padrão:
k-ésima derivada: f^(k)(x) = A * cos(x) + B * sen(x)
onde A e B são constantes.
Passo 3: Passo Indutivo
Agora, queremos mostrar que se a k-ésima derivada segue o padrão, então a (k + 4)-ésima derivada também segue o padrão.
Como você pode ver, a (k + 4)-ésima derivada corresponde ao padrão original. Isto completa a etapa de indução.
Como estabelecemos o caso base e mostramos o passo indutivo, podemos concluir que, para todos os inteiros positivos k, a k-ésima derivada de cos(x) segue o padrão:
k-ésima derivada: f^(k)(x) = A * cos(x) + B * sen(x)
onde A e B são constantes. No caso da 100ª derivada (k = 100), A = 1 e B = 0, então:
100ª derivada: f^(100)(x) = cos(x)
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laravieira23
muito muito obrigado sério. explicação ótima.
Observe que a função cosseno fornecida no enunciado é uma função circular. Desta forma ela é periódica, ou seja, ela é cíclica em relação ao círculo trigonométrico unitário de centro na origem do plano cartesiano.
Observe que a derivada de 4° ordem da referida função é igual à função original. Pois, a função cosseno é cíclica ao logo dos quatro quadrantes do círculo trigonométrico.
Desta forma, podemos formular a seguinte regra de derivação que deve ser aplicada à derivada de ordem "n" de uma função circular periódica, que pode ser representada como:
OBSERVAÇÃO 1: O piso de um número é o inteiro mais próximo a ele.
OBSERVAÇÃO 2: Observe que estou utilizando números naturais para representar a ordem da derivada. Desse modo, a derivada de ordem "0" é igual à própria função, isto é:
OBSERVAÇÃO 3: Perceba que a fórmula deduzida nesta questão serve para calcular a derivada de ordem "n" - ordem alta - de qualquer função circular periódica.
Lista de comentários
A 100ª derivada da função f(x) = cos(x) é igual a cos(x).
Indução matemática
Para encontrar a 100ª derivada da função f(x) = cos(x), primeiro observaremos o padrão para as primeiras derivadas e depois usaremos a indução para generalizar o resultado. As derivadas de cos(x) são as seguintes:
existe um padrão que se repete a cada quatro derivadas. A 100ª derivada estará relacionada a cos(x) novamente. Especificamente:
100ª derivada: f^(100)(x) = cos(x)
Agora, vamos usar a indução para provar esse padrão:
Para n = 1, a 1ª derivada é f'(x) = -sen(x), que corresponde ao padrão.
Suponhamos que para algum inteiro positivo k, a k-ésima derivada de cos(x) segue o padrão:
k-ésima derivada: f^(k)(x) = A * cos(x) + B * sen(x)
onde A e B são constantes.
Agora, queremos mostrar que se a k-ésima derivada segue o padrão, então a (k + 4)-ésima derivada também segue o padrão.
(k + 1)-ésima derivada: f^(k+1)(x) = d/dx(f^(k)(x))
(k + 1)-ésima derivada: f^(k+1)(x) = d/dx(A * cos(x) + B * sin(x))
Usando as regras de derivação:
f^(k+1)(x) = -A * sen(x) + B * cos(x)
(k + 2)-ésima derivada: f^(k+2)(x) = d/dx(f^(k+1)(x))
(k + 2)-ésima derivada: f^(k+2)(x) = d/dx(-A * sen(x) + B * cos(x))
Usando as regras de derivação:
f^(k+2)(x) = -A * cos(x) - B * sen(x)
(k + 3)-ésima derivada: f^(k+3)(x) = d/dx(f^(k+2)(x))
(k + 3)-ésima derivada: f^(k+3)(x) = d/dx(-A * cos(x) - B * sin(x))
Usando as regras de derivação:
f^(k+3)(x) = A * sen(x) - B * cos(x)
(k + 4)-ésima derivada: f^(k+4)(x) = d/dx(f^(k+3)(x))
(k + 4)-ésima derivada: f^(k+4)(x) = d/dx(A * sin(x) - B * cos(x))
Usando as regras de derivação:
f^(k+4)(x) = A * cos(x) + B * sen(x)
Como você pode ver, a (k + 4)-ésima derivada corresponde ao padrão original. Isto completa a etapa de indução.
Como estabelecemos o caso base e mostramos o passo indutivo, podemos concluir que, para todos os inteiros positivos k, a k-ésima derivada de cos(x) segue o padrão:
k-ésima derivada: f^(k)(x) = A * cos(x) + B * sen(x)
onde A e B são constantes. No caso da 100ª derivada (k = 100), A = 1 e B = 0, então:
100ª derivada: f^(100)(x) = cos(x)
Saiba mais sobre sobre Indução:https://brainly.com.br/tarefa/5451077
#SPJ1
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada de ordem "100" da referida função "f(x) = cos(x)" é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} f^{100}(x) = \cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função dada:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = \cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
Observe que a função cosseno fornecida no enunciado é uma função circular. Desta forma ela é periódica, ou seja, ela é cíclica em relação ao círculo trigonométrico unitário de centro na origem do plano cartesiano.
Disto isto, verificamos que:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}f^1(x) & = -\sin(x)\\f^2(x) & = -\cos(x)\\f^3(x) & = \sin(x)\\f^4(x) & = \cos(x)\end{aligned} $}[/tex]
Observe que a derivada de 4° ordem da referida função é igual à função original. Pois, a função cosseno é cíclica ao logo dos quatro quadrantes do círculo trigonométrico.
Desta forma, podemos formular a seguinte regra de derivação que deve ser aplicada à derivada de ordem "n" de uma função circular periódica, que pode ser representada como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}~f(x) = f_C\Longrightarrow f^n(x) = f^{n - \left[\left\lfloor\dfrac{n}{4}\right\rfloor\cdot 4\right]}(x),~\forall n \in \mathbb{N}\end{gathered}$}[/tex]
Onde:
[tex]\Large\begin{cases} f_C = func_{\!\!,}\tilde{a}o\:circular\:peri\acute{o}dica\\\left\lfloor \dfrac{n}{4}\right\rfloor = piso\:de\:um\:quarto\:de\:n\end{cases}[/tex]
OBSERVAÇÃO 1: O piso de um número é o inteiro mais próximo a ele.
OBSERVAÇÃO 2: Observe que estou utilizando números naturais para representar a ordem da derivada. Desse modo, a derivada de ordem "0" é igual à própria função, isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f^0(x) = f(x)\end{gathered}$}[/tex]
Agora podemos calcular a derivada de ordem "100" da referida função. Para isso, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}f^{100}(x) & = f^{100 - \left[\left\lfloor \dfrac{100}{4}\right\rfloor\cdot4\right]}(x)\\& = f^{100 - \left[\lfloor 25\rfloor\cdot 4\right]}(x)\\& = f^{100 - \left[25\cdot4\right]}(x)\\& = f^{100 - 100}(x)\\& = f^0(x)\\& = f(x)\\& = \cos(x)\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f^{100}(x) = \cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO 3: Perceba que a fórmula deduzida nesta questão serve para calcular a derivada de ordem "n" - ordem alta - de qualquer função circular periódica.
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]