Explicação passo-a-passo:

Fazendo a substituição \(u = t - 4\), temos que \(du = dt\) e \(t = u + 4\). Substituindo na integral, temos:

\[

\int{(u + 4)\sqrt{u} \: du}

\]

Podemos distribuir o integrando e resolver a integral separadamente:

\[

\int{u\sqrt{u} \: du} + \int{4\sqrt{u} \: du}

\]

A primeira integral pode ser resolvida usando a regra de potência:

\[

\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3}u^{\frac{3}{2}} + C

\]

Substituindo novamente \(u\) por \(t - 4\), obtemos a resposta final:

\[

\frac{2}{5}(t-4)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3}(t-4)^{\frac{3}{2}} + C

\]