Creio que tenha maneiras de resolver sem ser pelos métodos, mas demandaria um grande trabalho, pois você teria que ir na tentativa e erro tentando chegar nessa função que você quer.

Para resolver essa integral por partes é assim:

[tex] \int \ln(3x)dx \\ [/tex]

Normalmente na utilização da integração por partes, vemos duas funções, sendo uma integrada e outra derivada. Olhando para essa integral você só nota o ln(3x), mas você pode fazer a seguinte alteração:

[tex] \int 1 \: . \: \ln(3x) \: dx = \int x^{0} \: . \: \ln(3x) \: dx \\ [/tex]

Agora podemos ver duas funções bem definidas.

Para fazer a escolha da função a ser derivada e integrada, você pode usar o (macete) da regra LIATE (Funções Logartimicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas e Exponenciais). Essa regra nos diz que a medida que a função se aproximar da esquerda da sigla, esta deve ser derivada. Caso contrário, isto é, se ela aproximar-se mais da direita, então devemos integrá-la.

Analisando as funções da integral, nota-se uma algébrica (x⁰) e uma logarítmica (ln(3x)). Usando a regra, vemos que funções logarítmicas estão mais a esquerda da sigla, ou seja, ln(3x) será derivado. Já a função x⁰ está mais a direita, ou seja, será integrada.

[tex]u = \ln(3x) \to \frac{du}{dx} = \frac{1}{3x} .3 \to du = \frac{dx}{x} \\ \\ dv = x {}^{0} \to \: \int dv = \int x {}^{0} dx \to v = x[/tex]

A "fórmula" da integração por partes é:

[tex] \int u \: dv = u.v - \int v \: du \\ [/tex]

Substituindo os dados:

[tex] \int \ln(3x).1 = \ln(3x).x - \int x. \frac{dx}{x} \\ \\ \boxed{ \int \ln(3x) = x \ln(3x) -{x} + c}[/tex]