Sabemos que a tangente é negativa nos quadrantes 2 e 4, ou seja, temos duas respostas, onde uma é para o quadrante 2 e outra pro quadrante 4.
A função tangente ela é ímpar, ou seja, tan(-x) = -tan(x), então podemos dizer que:
[tex] - \tg(x) = 1 \: \to \: \tg( - x) = 1[/tex]
A tangente que possui o valor igual a 1 é referente ao ângulo de π/4=45° (primeiro quadrante), mas como estamos lidando com os valores no outro quadrante, então utilizaremos as simetrias para descobrir o ângulo simétrico a 45° em cada um desses quadrantes.
✅ Essa função não possui apenas um, dois ou três pontos críticos, mas sim uma infinidade deles, haja vista que se trata de uma função periódica de período 2π. Tais pontos críticos pertencem ao conjunto {x ∈ ℝ | x = kπ - π/4, k ∈ ℤ}.
☁ Definição: Um ponto [tex] \rm c \in Dom(f) [/tex] de uma função real de uma variável é um ponto crítico se a derivada primeira se anular ou não existir neste.
Note que são duas equações trigonométricas distintas, i.e., ambas geram conjuntos soluções disjuntos ( intersecção vazia ).
Mas note ainda que essa equação é facilmente resolvida se olharmos o ciclo trigonométrico. Primeiro vamos tomar a equação em módulo, i.e., [tex] \rm \sin(x) = \cos(x) [/tex], entretanto essa igualdade é verdadeira quando [tex] \rm x = \tfrac{\pi}{4} [/tex].
Voltando para as equações (1) e (2), vemos que as soluções para (1) estão no segundo quadrante, pois a função [tex] \rm \sin(x) > 0 [/tex] e a função [tex] \rm \cos(x) < 0 [/tex]. Já para a equação (2), é visível que as soluções estão no quarto quadrante, uma vez que a função [tex] \rm \sin(x) < 0 [/tex] e a função [tex] \rm \cos(x) > 0 [/tex]. Quando falo soluções no plural, é devido a existência da periodicidade dessas funções, logo existem infinitos arcos côngruos a um arco qualquer.
Veja a imagem anexada. Já sabemos que o [tex] \rm \sin(x) = \cos(x) [/tex] quando [tex] \rm x = \tfrac{\pi}{4} [/tex]. Então, basta rebater esse arco para encontrar as soluções em outros quadrantes. Logo [tex] \rm x = \tfrac{3\pi}{4} [/tex] é solução de (1) e [tex] \rm x = \tfrac{7\pi}{4} [/tex] é solução de (2), como também todos os arcos côngruos a estes.
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \sin(x) = -\cos(x) \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, ~k\in \mathbb{Z} \\\rm ou \\\rm \cos(x) = -\sin(x) \Leftrightarrow x = \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi, ~k\in \mathbb{Z} \end{array} [/tex]
Observe na imagem que [tex] \rm \tfrac{3\pi}{4} = \pi - \tfrac{\pi}{4} [/tex] e que [tex] \rm \tfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \tfrac{\pi}{4} [/tex] e assim sucessivamente, tomando múltiplos inteiros de [tex] \rm \pi [/tex] e subtraindo [tex] \rm \tfrac{\pi}{4} [/tex] deles.
Ou seja, o conjunto solução da equação [tex] \rm \sin(x) + \cos(x) = 0 [/tex], que são os pontos críticos de [tex] \rm f(x) [/tex], são
✔️ Isso mostra que a função dada possui infinitos pontos críticos da forma dada acima. Para encontrar alguns, basta você atribuir alguns valores inteiros para k.
⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre estudo das variações das funções, derivada:
Lista de comentários
Resposta: x = 3π/4 e x = 7π/4
[tex]y = \sin(x) - \cos(x)[/tex]
Ponto crítico → Ponto em que a derivada é igual a zero
[tex] \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ( \sin(x) - \cos(x)) \\ \\ \frac{dy}{dx} = \cos(x) + \sin(x)[/tex]
Igualando a 0:
[tex] \cos(x) + \sin(x) = 0 \: \\ \\ \sin(x) = - \cos(x) \\ \\ \frac{ \sin(x)}{ - \cos(x)} = \frac{ - \cos(x)}{ - \cos(x)} \\ \\ - \tg(x) = 1 \\ [/tex]
A função tangente ela é ímpar, ou seja, tan(-x) = -tan(x), então podemos dizer que:
[tex] - \tg(x) = 1 \: \to \: \tg( - x) = 1[/tex]
A tangente que possui o valor igual a 1 é referente ao ângulo de π/4=45° (primeiro quadrante), mas como estamos lidando com os valores no outro quadrante, então utilizaremos as simetrias para descobrir o ângulo simétrico a 45° em cada um desses quadrantes.
[tex]\pi - \alpha , \: \alpha = \frac{\pi}{4} \\ \\ \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} [/tex]
[tex]2\pi - \alpha , \: \alpha = \frac{\pi}{4} \\ \\ 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{4} = \frac{7\pi}{4} [/tex]
Portanto, temos que os pontos críticos são quando x = 3π/4 e 7π/4.
✅ Essa função não possui apenas um, dois ou três pontos críticos, mas sim uma infinidade deles, haja vista que se trata de uma função periódica de período 2π. Tais pontos críticos pertencem ao conjunto {x ∈ ℝ | x = kπ - π/4, k ∈ ℤ}.
☁ Definição: Um ponto [tex] \rm c \in Dom(f) [/tex] de uma função real de uma variável é um ponto crítico se a derivada primeira se anular ou não existir neste.
✍️ Solução: Seja
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm f(x) = \sin(x) - \cos(x) \end{array} [/tex]
Da definição, resulta que é necessário obter a derivada primeira da função. Para isso, basta aplicar a linearidade e resolver as derivadas imediatas
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \dot{f}(x) &=\rm \dfrac{d}{dx}(\sin(x)) - \dfrac{d}{dx}(\cos(x)) \\\\&=\rm \cos(x) + \sin(x) \end{aligned}\end{array} [/tex]
Um ponto crítico é tal que a derivada primeira se anula, logo
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \dot{f}(x) = 0 \Rightarrow \\\\\rm \sin(x) + \cos(x) = 0\Rightarrow \\\\\rm \sin(x) = -\cos(x) \qquad (1) \\\rm ou \\\rm \cos(x) = -\sin(x) \qquad (2) \end{array} [/tex]
Note que são duas equações trigonométricas distintas, i.e., ambas geram conjuntos soluções disjuntos ( intersecção vazia ).
Mas note ainda que essa equação é facilmente resolvida se olharmos o ciclo trigonométrico. Primeiro vamos tomar a equação em módulo, i.e., [tex] \rm \sin(x) = \cos(x) [/tex], entretanto essa igualdade é verdadeira quando [tex] \rm x = \tfrac{\pi}{4} [/tex].
Voltando para as equações (1) e (2), vemos que as soluções para (1) estão no segundo quadrante, pois a função [tex] \rm \sin(x) > 0 [/tex] e a função [tex] \rm \cos(x) < 0 [/tex]. Já para a equação (2), é visível que as soluções estão no quarto quadrante, uma vez que a função [tex] \rm \sin(x) < 0 [/tex] e a função [tex] \rm \cos(x) > 0 [/tex]. Quando falo soluções no plural, é devido a existência da periodicidade dessas funções, logo existem infinitos arcos côngruos a um arco qualquer.
Veja a imagem anexada. Já sabemos que o [tex] \rm \sin(x) = \cos(x) [/tex] quando [tex] \rm x = \tfrac{\pi}{4} [/tex]. Então, basta rebater esse arco para encontrar as soluções em outros quadrantes. Logo [tex] \rm x = \tfrac{3\pi}{4} [/tex] é solução de (1) e [tex] \rm x = \tfrac{7\pi}{4} [/tex] é solução de (2), como também todos os arcos côngruos a estes.
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \sin(x) = -\cos(x) \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, ~k\in \mathbb{Z} \\\rm ou \\\rm \cos(x) = -\sin(x) \Leftrightarrow x = \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi, ~k\in \mathbb{Z} \end{array} [/tex]
Observe na imagem que [tex] \rm \tfrac{3\pi}{4} = \pi - \tfrac{\pi}{4} [/tex] e que [tex] \rm \tfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \tfrac{\pi}{4} [/tex] e assim sucessivamente, tomando múltiplos inteiros de [tex] \rm \pi [/tex] e subtraindo [tex] \rm \tfrac{\pi}{4} [/tex] deles.
Ou seja, o conjunto solução da equação [tex] \rm \sin(x) + \cos(x) = 0 [/tex], que são os pontos críticos de [tex] \rm f(x) [/tex], são
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:S = \left\{x\in \mathbb{R} \mid x = k\pi - \dfrac{\pi}{4},~k\in \mathbb{Z} \right\} }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]
✔️ Isso mostra que a função dada possui infinitos pontos críticos da forma dada acima. Para encontrar alguns, basta você atribuir alguns valores inteiros para k.
⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre estudo das variações das funções, derivada:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]