Determine o algarismo das CENTENAS (a qual pertence a classe das unidades simples) que obtém-se ao calcular a seguinte expressão:
[tex]\Large{\sf 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 400!}[/tex]
Boa sorte.
[tex]\Large{\sf 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 400!}[/tex]
Boa sorte.
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Um múltiplo de 1000 tem seu algarismo da centena igual a 0. Um múltiplo de 1000 é o mesmo que um múltiplo de [tex]2^3 \cdot 5^3[/tex].
Perceba que qualquer fatorial maior ou igual a 15! possui todos estes termos, ou seja, este fatorial é múltiplo de 1000. Considerando somente a soma dos fatoriais maiores ou iguais a 15!, podemos concluir que estamos somando somente múltiplos de 1000, e, portanto, que o resultado também é múltiplo de 1000. Dessa maneira, o algarismo das centenas da dita soma é 0. Agora basta considerar os números menores que 15!.
Sei que a parte a seguir não é muito elegante, mas dá conta do recado. Eu havia tentado analisar alguns critérios de divisibilidade mas não obtive nada de interessante, então optei pela soma inteira.
[tex]0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9 ! + 10! + 11! + 12! + 13! + 14!\\=1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + 5040 + 40320 + 362880 + 3628800 + 39916800 + 479001600 + 6227020800 + 87178291200\\= 93928268314[/tex]
Cujo algarismo das centenas é 3.
:)