Vamos supor que ele não é único. Chamemos os dois elementos neutros distintos da adição de [tex]0[/tex] e [tex]0'[/tex]. Ou seja:

[tex]0\neq 0'[/tex]

Como são neutros, podemos afirmar o seguinte:

[tex]x+0 = x[/tex]

e

[tex]x + 0' = x[/tex]

Desse modo, concluímos que:

[tex]x+0 = x+0'\\x-x+0 = 0'\\0 = 0'[/tex]

Chegamos a uma evidente contradição: inicialmente foi dito que [tex]0 \neq 0'[/tex] e agora que [tex]0 = 0'[/tex], portanto a tese inteira está equivocada. Como a tese em questão afirma que o elemento neutro da adição não é único, e como esta tese tem somente uma outra alternativa (sendo esta outra alternativa "o elemento neutro da adição é único"), logo, se pode afirmar que seu contrário é verdadeiro, ou seja, o elemento neutro da adição é realmente único.