Para a resolução desta tarefa, usaremos aritmética modular para verificar algumas propriedades dos cubos perfeitos.

Afirmação 1: Para todo [tex]k\in\mathbb{N},[/tex] [tex]k^3\equiv 0\pmod{9}[/tex] ou [tex]k^3\equiv \pm 1\pmod{9}.[/tex]

Demonstração: Dado um [tex]k[/tex] natural, temos os seguintes casos possíveis:

• Caso 1: [tex]k[/tex] é múltiplo de 3, ou seja, para algum [tex]q[/tex] inteiro

     [tex]k=3q\\\\ \Longrightarrow\quad k^3=(3q)^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=27q^3=9\cdot 3q^3\\\\ \Longrightarrow\quad k^3\equiv 0\pmod{9}.[/tex]

• Caso 2: [tex]k[/tex] deixa resto 1 na divisão por 3:

     [tex]k\equiv 1\pmod{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=3q+1\\\\ \Longrightarrow\quad k^3=(3q+1)^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=27q^3+3(3q)^2+3(3q)+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=27q^3+9q^2+9q+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=9\cdot (3q^3+q^2+q)+1\\\\ \Longrightarrow\quad k^3\equiv 1\pmod{9}.[/tex]

• Caso 3: [tex]k[/tex] deixa resto 2 na divisão por 3:

     [tex]k\equiv 2\equiv -1\pmod{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=3q-1\\\\ \Longrightarrow\quad k^3=(3q-1)^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=27q^3-3(3q)^2+3(3q)-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=27q^3-9q^2+9q-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad k^3=9\cdot (3q^3-q^2+q)-1\\\\ \Longrightarrow\quad k^3\equiv -1\pmod{9}.[/tex]

como queríamos.

Agora, suponha que [tex]2^n+3^n[/tex] seja um cubo perfeito.

Obviamente, [tex]2^1+3^1=5[/tex] não é cubo perfeito.

No entanto, como para todo natural [tex]n\ge 2,[/tex] temos [tex]3^n\equiv 0\pmod{9},[/tex] pela afirmação 1, devemos ter

     [tex]2^n\equiv 1\quad\mathrm{ou}\quad 2^n\equiv -1\pmod{9}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

o que só ocorre quando [tex]n[/tex] é um múltiplo de 3. Portanto, se [tex]2^n+3^n[/tex] é cubo perfeito, devemos ter

     [tex]n=3q\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

para algum q natural.

Afirmação 3: Não existe cubo perfeito entre dois cubos perfeitos consecutivos.

Usaremos esta afirmação verificando que [tex]2^{3q}+3^{3q}[/tex] está entre dois cubos perfeitos consecutivos. e portanto não pode ser um cubo perfeito.

De fato, para todo q natural, temos

     [tex]3^{3q}<2^{3q}+3^{3q}\\\\ \Longleftrightarrow\quad (3^q)^3<2^{3q}+3^{3q}\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Observe que [tex](3^q)^3[/tex] é um cubo perfeito. O próximo cubo perfeito no conjunto dos naturais é o cubo do sucessor de [tex]3^q.[/tex]

Desenvolvendo [tex](3^q+1)^3,[/tex] temos

     [tex](3^q+1)^3=(3^q)^3+3(3^q)^2+3(3^q)+1\\\\ =3^{3q}+3\cdot 9^q+3\cdot 3^q+1\\\\ >3^{3q}+3\cdot 9^q\\\\ >3^{3q}+3\cdot 8^q\\\\ >3^{3q}+8^q=3^{3q}+2^{3q}\\\\ \Longrightarrow\quad 2^{3q}+3^{3q}<(3^q+1)^3\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

Logo, concluímos que para todo q natural, temos

     [tex](3^q)^3<2^{3q}+3^{3q}<(3^q+1)^3\\\\ \overset{\mathrm{(ii)}}{\Longrightarrow}\quad (3^q)^3<2^n+3^n<(3^q+1)^3[/tex]

e como [tex](3^q)^3[/tex] e [tex](3^q+1)^3[/tex] são cubos perfeitos consecutivos, concluímos que

     [tex]2^n+3^n[/tex]

também não é cubo perfeito, qualquer que seja n natural.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)