Sejam [tex]f: A\rightarrow B[/tex] e [tex]g: B\rightarrow C[/tex] funções. Mostre que:
Se [tex]f ~e~g[/tex] são injetoras, então [tex]g\circ f[/tex] é injetora.
A demonstração é simples, mas seja claro na demonstração. ( Obs:. se for necessário usar o LaTeX. )
Se [tex]f ~e~g[/tex] são injetoras, então [tex]g\circ f[/tex] é injetora.
A demonstração é simples, mas seja claro na demonstração. ( Obs:. se for necessário usar o LaTeX. )
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[Demonstração]
A composta [tex]g\circ f[/tex] está bem definida, pois [tex]\mathrm{Im}(f)\subseteq B=\mathrm{Dom}(g).[/tex]
Por definição de função composta, temos
[tex]\begin{array}{rccl}g\circ f:&A&\to& C\\\\ &x&\mapsto&g(f(x))\end{array}[/tex]
Suponha por absurdo que [tex]g\circ f[/tex] não é injetora. Logo, devem existir [tex]x_1,\,x_2\in A[/tex] distintos, tais que
[tex]g(f(x_1))=g(f(x_2))\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
Por hipótese, g é injetora, portanto devemos ter
[tex]\Longrightarrow\quad f(x_1)=f(x_2)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
Mas por hipótese, f também é injetora. Logo, devemos concluir que
[tex]\Longrightarrow\quad x_1=x_2\qquad\mathrm{(absurdo!)}[/tex]
Chegamos a uma contradição, pois inicialmente tínhamos [tex]x_1\ne x_2.[/tex]
Logo, [tex]g\circ f[/tex] é injetora. ■
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Bons estudos.