Verified answer

[Demonstração]

A composta [tex]g\circ f[/tex] está bem definida, pois [tex]\mathrm{Im}(f)\subseteq B = \mathrm{Dom}(g).[/tex]

Por definição de função composta, temos

     [tex]\begin{array}{rccl}g\circ f:&A&\to& C\\\\ &x&\mapsto&g(f(x))\end{array}[/tex]

Seja [tex]z\in C.[/tex] Queremos mostrar que [tex]z=(g\circ f)(x),[/tex] para algum [tex]x\in A.[/tex]

Por hipótese, g é sobrejetora. Logo,

     [tex]C=g(B)=\mathrm{Im}(g).[/tex]

Então, existe [tex]y\in B,[/tex] tal que [tex]z=g(y).[/tex]

Mas por hipótese, f também é sobrejetora, ou seja,

     [tex]B=f(A)=\mathrm{Im}(f).[/tex]

Fixemos tal [tex]y\in B.[/tex] Como f é sobrejetora, então existe [tex]x\in A,[/tex] tal que

     [tex]y=f(x)\\\\ \Longrightarrow\quad g(y)=g(f(x))\\\\ \Longrightarrow\quad z=g(f(x))\\\\ \Longrightarrow\quad z=(g\circ f)(x)\\\\ \Longrightarrow\quad z\in (g\circ f)(A)=\mathrm{Im}(g\circ f).[/tex]

Disso, concluímos que todo elemento de [tex]C[/tex] é imagem de algum elemento de [tex]A[/tex] pela função composta [tex]g\circ f,[/tex] ou seja

     [tex]\Longrightarrow\quad C\subseteq (g\circ f)(A)=\mathrm{Im}(g\circ f).[/tex]

Logo, [tex]g\circ f[/tex] é sobrejetora.     ■

Dúvidas? Comente.

Bons estudos.