Sejam [tex]f:A\rightarrow B[/tex] e [tex]g:B\rightarrow C[/tex] funções. Mostre que:
Se [tex]f~e~g[/tex] são sobrejetora, então [tex]g o f[/tex] é sobrejetora.
Obs:. Seja claro na demonstração.
Se [tex]f~e~g[/tex] são sobrejetora, então [tex]g o f[/tex] é sobrejetora.
Obs:. Seja claro na demonstração.
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[Demonstração]
A composta [tex]g\circ f[/tex] está bem definida, pois [tex]\mathrm{Im}(f)\subseteq B = \mathrm{Dom}(g).[/tex]
Por definição de função composta, temos
[tex]\begin{array}{rccl}g\circ f:&A&\to& C\\\\ &x&\mapsto&g(f(x))\end{array}[/tex]
Seja [tex]z\in C.[/tex] Queremos mostrar que [tex]z=(g\circ f)(x),[/tex] para algum [tex]x\in A.[/tex]
Por hipótese, g é sobrejetora. Logo,
[tex]C=g(B)=\mathrm{Im}(g).[/tex]
Então, existe [tex]y\in B,[/tex] tal que [tex]z=g(y).[/tex]
Mas por hipótese, f também é sobrejetora, ou seja,
[tex]B=f(A)=\mathrm{Im}(f).[/tex]
Fixemos tal [tex]y\in B.[/tex] Como f é sobrejetora, então existe [tex]x\in A,[/tex] tal que
[tex]y=f(x)\\\\ \Longrightarrow\quad g(y)=g(f(x))\\\\ \Longrightarrow\quad z=g(f(x))\\\\ \Longrightarrow\quad z=(g\circ f)(x)\\\\ \Longrightarrow\quad z\in (g\circ f)(A)=\mathrm{Im}(g\circ f).[/tex]
Disso, concluímos que todo elemento de [tex]C[/tex] é imagem de algum elemento de [tex]A[/tex] pela função composta [tex]g\circ f,[/tex] ou seja
[tex]\Longrightarrow\quad C\subseteq (g\circ f)(A)=\mathrm{Im}(g\circ f).[/tex]
Logo, [tex]g\circ f[/tex] é sobrejetora. ■
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Bons estudos.