Para encontar as interseções, basta você igualar as funções, pois fazendo isso vamos encontrar os pontos que elas possuem em comum, ou seja, onde acontecem as interseções.

[tex]x = \sqrt[]{y} \to y = x {}^{2} \\ \\ y = - x + 2 \\ \\ x {}^{2} = - x + 2 \: \to \: x {}^{2} + x - 2 = 0 \\ \\ x = \frac{ - 1 \pm \sqrt{1 {}^{2} - 4.1.( - 2) } }{2.1} \\ \\ x = \frac{ - 1 \pm \sqrt{1 + 8} }{2} \: \to \: x = \frac{ - 1 \pm \sqrt{9} }{2} \\ \\ x = \frac{ - 1 \pm 3}{2} \\ \\ x_{1} = \frac{ - 1 + 3}{2} = 1 \\ \\ x_{2 } = \frac{ - 1 - 3}{2} = - 2[/tex]

Sabemos que elas se cruzam em dois pontos, mas o único interessante para a questão é quando x = 1.

• A questão nos fornece a função x = 1/2, ou seja, esse é o nosso limite inicial e o limite final é o que encontramos (x = 1).

Para montar a integral, basta fazer a subtração da função superior pela função inferior. Logo:

[tex]A = \int_{ \frac{1}{2} }^{1}( - x + 2) - (x {}^{2} ) \: dx \\ \\ A = \int_{ \frac{1}{2} }^{1}- x +\int_{ \frac{1}{2} }^{1}2 -\int_{ \frac{1}{2} }^{1}x {}^{2} \: dx \\ \\ A = \left[ - \frac{x {}^{2} }{2} + 2x - \frac{x {}^{3} }{3} \right]_{ \frac{1}{2} }^{1} \\ \\ A = - \frac{1}{2} + 2.1 - \frac{1}{3} - \left( - \frac{ \left( \frac{1}{2} \right) {}^{2} }{2} + 2. \frac{1}{2} - \frac{ \left( \frac{1}{2} \right) {}^{3} }{3} \right) \\ \\ A = - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} + \frac{1}{8 } - 1 + \frac{1}{24} \\ \\ \boxed{A = \frac{1}{3} \: u.a}[/tex]