O Teorema do Valor Médio se aplica à função f(x) = x³ no intervalo [-2, 0]. O valor de c no intervalo (-2, 0) que cumpre o teorema é c = -2/√3

Teorema do Valor Médio

O Teorema do Valor Médio afirma que se uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe um ponto c em (a, b) tal que a reta secante que intercepta o gráfico de f nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) é paralela à reta tangente ao gráfico de f no ponto c.

Em outras palavras, o Teorema do Valor Médio diz que existe um ponto no intervalo aberto (a, b) onde a inclinação da linha secante é igual à inclinação da linha tangente.

Vamos verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica à função f(x) = x³ no intervalo [-2, 0].

• Continuidade

A função f(x) = x³ é contínua no intervalo fechado [-2, 0]. Isso ocorre porque a função é um polinômio e os polinômios são contínuos em todos os números reais.

• Diferenciabilidade

A função f(x) = x³ é diferenciável no intervalo aberto (-2, 0). Isso ocorre porque a derivada da função é f'(x) = 3x², que é um polinômio e, portanto, é definido para todos os números reais.

Portanto, o Teorema do Valor Médio se aplica à função f(x) = x³ no intervalo [-2, 0].

Para encontrar o valor de c em (-2, 0) que cumpre o teorema, precisamos encontrar a inclinação da reta secante que intercepta o gráfico de f nos pontos (-2, f(-2)) e (0 , f(0)).

A inclinação da reta secante é

m = (f(0) - f(-2)) / (0 - (-2)) = (0 - (-8)) / (0 + 2) = 8 / 2 = 4

A inclinação da reta tangente no ponto c é igual à inclinação da reta secante, então f'(c) = 4.

A derivada da função f(x) = x³ é f'(x) = 3x², então precisamos resolver a equação 3x² = 4.

A solução para esta equação é x² = 4/3, então x = ±2/√3.

Como c deve estar no intervalo (-2, 0), o valor de c que cumpre o Teorema do Valor Médio é c = -2/√3.

Portanto, o Teorema do Valor Médio se aplica à função f(x) = x³ no intervalo [-2, 0], e o valor de c em (-2, 0) que cumpre o teorema é c = -2/√3 .

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