Determine a integral indefinida [tex]\int {\sqrt[3]{8(t-2)^{6}(t+\frac{1}{2} )^{3} } } \, dt[/tex]. Já achei a resposta porém quero confirmar porque o livro diz que ta errado :(
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Resposta:
Olá!
∫ ∛8(t - 2)⁶(t + 1/2)³ dt
Utilize a propriedade: ∛(a . b) = ∛a . ∛b
= ∫∛8 . ∛(t - 2)⁶ . ∛(t + 1/2)³ . dt
Simplifique
= ∫ 2 . (t - 2)² . (t + 1/2) . dt
= ∫ 2 . (t² - 4t + 4) . (t + 1/2) . dt
= ∫ (2t² - 8t + 8) . (t + 1/2) . dt
= ∫ (2t³ + t² - 8t² - 4t + 8t + 4) . dt
= ∫ (2t³ - 7t² + 4t + 4) . dt
Utilize a propriedade: ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g
= ∫ (2t³) dt - ∫ (7t²) dt + ∫ (4t) dt - ∫ 4 dt
= 2t⁴/4 - 7t³/3 + 4t²/2 - 4t
= t⁴/2 - 7t³/3 + 2t² - 4t
= 6t⁴/2 - 6(7)t³/3 + 6(2)t² - 6(4)t
= 3t⁴ -14t³ + 12t² - 24t
Resposta:
∫ ∛(8*(t-2)⁶*(t+1/2)³) dt
fazendo u=t-2 ==>du=dt
t=u+2
∫ ∛(2³*u⁶*(u+2+1/2)³) du
∫ ∛(2³*u⁶*(u+5/2)³) du
∫ ∛(2³) *∛(u⁶) *∛(u+5/2)³ du
∫ 2*u²*(u+5/2) du
∫ 2*u³+5u² du
=2*u⁴/4 + 5*u³/3 +c
=u⁴/2+ (5/3)* u³ +c
como u=t-2
= (t-2)⁴/2+ (5/3)* (t-2)³ +c
=t⁴/2 -(7/3)*t³ +2t² + 4t -16/3 + c