Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y= 2x² , y = 2 , x = 1 , x = 2; ao redor do eixo y = 2.
Fiz a seguinte integral: [tex]\pi \cdot \int\limits^1_2{(2x^2 -2)^2} \, dx[/tex] e minha resposta deu exatos [tex]V=\dfrac{192\pi }{15} \: u. v.[/tex]. Mas a resposta da apostila diz que não é 192, e sim 152. Qual o erro que cometi? Na integral, nos limites ou na função?
Fiz a seguinte integral: [tex]\pi \cdot \int\limits^1_2{(2x^2 -2)^2} \, dx[/tex] e minha resposta deu exatos [tex]V=\dfrac{192\pi }{15} \: u. v.[/tex]. Mas a resposta da apostila diz que não é 192, e sim 152. Qual o erro que cometi? Na integral, nos limites ou na função?
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Resposta:
A integral que você usou dá como resposta [tex]\dfrac{152\pi}{15}[/tex], entretanto, essa integral calcula o sólido de revolução da região em torno do eixo x = 2, não y=2 conforme o enunciado. Se não houve erro no enunciado, essa resposta também não é a correta, mas sim:
[tex]\displaystyle \pi \int\limits_{2}^{8} \left(\sqrt{\frac{y}{2}}-2\right)^2 \, dy = \frac{5\pi}{3}[/tex]
Mas, se houve erro no enunciado, então o cálculo será:
[tex]\displaystyle \pi \int\limits_{1}^{2} \left(2x^2-2\right)^2 \, dx = \displaystyle \pi \int\limits_{1}^{2} 4x^4 -8x^2+4 \, dx =[/tex]
[tex]\displaystyle \pi \left( \left. \frac{4x^5}{5} \right |_1^2 - \left. \frac{8x^3}{3} \right |_1^2 + \left. 4x \right |_1^2\right) = \pi\left(\frac{128}{5} -\frac{4}{5} -\left(\frac{64}{3}-\frac{8}{3} \right)+8-4\right) =[/tex]
[tex]\displaystyle \pi \left(\frac{124}{5}-\frac{56}{3}+4 \right) = \pi \left(\frac{372}{15}-\frac{280}{15}+\frac{60}{15} \right)=\boxed{\frac{152\pi}{15} }[/tex]