✅ A área da região entre os gráficos das funções dadas é A = ½(2 + √3) + ¹⁷/₂₄ π u.a. ≈ 4,09 u.a.

✍️ Solução: Basta resolver normalmente. Não é necessário uma intersecção para encontrar a área entre curvas. Apenas observe que a área da função cosseno no intervalo dado é [tex] \rm -\int\limits_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{4\pi}{3}} \cos(x)\,dx [/tex]

[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm A = \int\limits_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{4\pi}{3}} \frac{3}{5\pi } x+ \frac{3}{10}\,dx -\int\limits_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{4\pi}{3}} \cos(x)\,dx &=\rm \left( \dfrac{3}{10\pi }x^2 + \dfrac{3}{10}x \right)\Bigg|_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{4\pi}{3}} - \sin(x)\Bigg|_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{4\pi}{3}} \\\\&=\rm \\\\&=\rm \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: }}}}\end{array} [/tex]

Consideremos

F(X) = (-3X/5π) + (3/10)

G(X) = COS(X)

(atentar que F(X) é uma função decrescente)

De acordo com a teoria, fazendo ∫F(X) - ∫G(X) obteremos a área entre as duas funções no intervalo dado, π/2 a 4π/3

Resolvendo as integrais, conforme anexo, chegamos em

∫F(X) = [tex]\huge{\int_{\pi/2 }^{4\pi /3}\frac{-3x}{5\pi }+\frac{3}{10}}[/tex] =  - 5π/24

∫G(X) = [tex]\huge{\int_{\pi/2 }^{4\pi /3}cos(x)}[/tex] = (-√3/2) - 1
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Area = ∫F(X) - ∫G(X) = (-5π/24) + (√3/2) + 1

Também em anexo a área representada por ∫F(X) - ∫G(X)