Verified answer

[Demonstração]

A demonstração será feita usando o Princípio da Indução Finita sobre os naturais.

• Verificando o caso base:

Para n = 4, temos

     [tex]4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24>16=2^4[/tex]

Logo, a desigualdade é verdadeira para n = 4.

• [Hipótese de indução (H.I.)] Suponha que vale a desigualdade

     [tex]k!>2^k\qquad\mathsf{(H.I.)}[/tex]

para algum [tex]k\ge 4.[/tex]

• [Passo indutivo]

Pela H.I, multiplicando os dois membros por k+1, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad (k+1)\cdot k!>(k+1)\cdot 2^k\\\\ \Longleftrightarrow\quad (k+1)!>(k+1)\cdot 2^k\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Por outro lado, temos

     [tex]k\ge 4>1\\\\ \Longrightarrow\quad k+1>1+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad k+1>2\\\\ \Longleftrightarrow\quad (k+1)\cdot 2^k>2\cdot 2^k\\\\ \Longleftrightarrow\quad (k+1)\cdot 2^k>2^{k+1}\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Por (i) e (ii), temos

     [tex]\overset{\mathrm{(i)~e~(ii)}}{\Longrightarrow}\quad (k+1)!>(k+1)\cdot 2^k>2^{k+1}\\\\ \Longrightarrow\quad (k+1)!>2^{k+1}[/tex]

Logo, pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que [tex]n!>2^n,[/tex] para todo [tex]n\in\mathbb{N},\,n\ge 4.[/tex]     ■

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Bons estudos.