Utilizando as propriedades dos números complexos e as operações algébricas no conjunto [tex]\mathbb{C}[/tex], provamos que z/z = 1 e 1/(1/z) = z. Pela definição de parte real e parte imaginária de um número complexo, demonstramos que Im(iz) = R(z).

Propriedades e operação com números complexos

Um número complexo qualquer pode ser representado por z = ai + b. Lembre que, na divisão de números complexos, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do número complexo que aparece no denominador.

Dessa forma, supondo que z é diferente de zero, podemos escrever:

[tex]\dfrac{z}{z} = \dfrac{a + ib}{a + ib} = \dfrac{a + ib}{a + ib} \cdot \dfrac{a - ib}{a - ib} = \dfrac{(a + ib) \cdot (a - ib)}{(a + ib) \cdot (a - ib)} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2}[/tex]

Observe que o numerador e o denominador obtidos acima são números reais iguais, portanto:

[tex]\dfrac{z}{z} = 1[/tex]

Temos que, o inverso multiplicativo do inverso multiplicativo de um número complexo z qualquer, diferente de zero, é igual a z, ou seja, [tex](z^{-1})^{-1} = z[/tex]. De fato:

[tex]z \cdot z^{-1} = 1[/tex]

[tex](z \cdot z^{-1})^{-1} = 1^{-1}[/tex]

[tex](z^{-1})^{-1} \cdot z^{-1} = 1[/tex]

Como o inverso multiplicativo é único, concluímos que [tex](z^{-1})^{-1} = z[/tex]. Com essa informação, podemos escrever:

[tex]\dfrac{1}{1/z} = \dfrac{1}{z^{-1}} = (z^{-1})^{-1} = z[/tex]

Observe que:

[tex]iz = i \cdot (a + ib) = ai - b[/tex]

Lembre que a parte imaginária de um número complexo é o valor real que multiplica i e que a parte real é igual ao termo real independente, portanto:

[tex]Im (iz) = Im (ai - b) = a\\Re(z) = Re(a + ib) = a[/tex]

O que demonstra a igualdade Im(iz) = R(z).

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#SPJ1

Verified answer

Seja [tex]z=a+bi[/tex] um número complexo, com [tex]a,\,b\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]i=\sqrt{-1}.[/tex]

Mostrando que todo complexo não-nulo é invertível

[Proposição 1] Se [tex]z\ne 0,[/tex] então existe [tex]z^{-1}=c+di,[/tex] com [tex]c,\,d\in\mathbb{R},[/tex] tal que

     [tex]zz^{-1}=z^{-1}z=1[/tex]

e tal [tex]z^{-1}[/tex] é único.

     [Demonstração]

A multiplicação é comutativa nos complexos. Portanto, queremos mostrar a existência de [tex]z^{-1}=c+di[/tex] único, tal que

     [tex]zz^{-1}=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad (a+bi)(c+di)=1+0i[/tex]

Aplicando a distributividade da multiplicação em relação à soma:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad (a+bi)c+(a+bi)di=1+0i\\\\ \Longleftrightarrow\quad ac+(bc)i+(ad)i+(bd)i²=1+0i\\\\ \Longleftrightarrow\quad ac+(bc)i+(ad)i+(bd)(-1)=1+0i\\\\ \Longleftrightarrow\quad (ac-bd)+(bc+ad)i=1+0i[/tex]

Identificando partes reais e partes imaginárias, a igualdade acima é satisfeita se, e somente se

     [tex]\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lc}ac-bd=1\\\\ bc+ad=0\end{array}\right.[/tex]

Temos acima um sistema linear de duas equações a duas variáveis [tex]c[/tex] e [tex]d.[/tex]

O determinante da matriz associada ao sistema é

     [tex]\det\!\begin{bmatrix}a&-b\\ b&a\end{bmatrix}=a^2+b^2=|z|^2\ne 0[/tex]

Logo, garantimos que o sistema é possível e (unicamente) determinado. Resolvendo o sistema, encontramos como soluções

     [tex]\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} c=\dfrac{a}{a^2+b^2}\\\\ d=-\,\dfrac{b}{a^2+b^2}\end{array}\right.[/tex]

Logo, concluímos que existe [tex]z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}\,i[/tex]

e tal é único que satisfaz [tex]zz^{-1}=z^{-1}z=1\qquad\square[/tex]

Observe que acima temos uma fórmula que nos fornece o inverso multiplicativo de qualquer complexo não-nulo:

     [tex]z^{-1}=\dfrac{\mathrm{Re}(z)}{|z|^2}-\dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|^2}\,i[/tex]

para todo [tex]z\in\mathbb{C}^*.[/tex]

Além disso, o resultado da proposição 1 nos permite afirmar que o conjunto dos complexos munido da soma e multiplicação usuais assume estrutura de corpo, visto que

• é um anel comutativo,

• possui o elemento 1 (unidade), elemento neutro da multiplicação,

• não possui divisores de zero,

• todo elemento diferente de zero possui inverso multiplicativo.

[Corolário 1.1] Se [tex]z\ne 0,[/tex] então [tex](z^{-1})^{-1}=z.[/tex]

     [Demonstração]

Calculando o módulo de [tex]z^{-1}:[/tex]

     [tex]|z^{-1}|=\left|\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}\,i\right|\\\\ \Longleftrightarrow\quad |z^{-1}|=\left|\dfrac{1}{a^2+b^2}\cdot (a-bi)\right|\\\\ \Longrightarrow\quad |z^{-1}|=\left|\dfrac{1}{a^2+b^2}\right|\cdot |a-bi|\\\\ \Longleftrightarrow\quad |z^{-1}|=\dfrac{1}{a^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+(-b)^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad |z^{-1}|=\dfrac{1}{a^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad |z^{-1}|=\dfrac{1}{|z|^2}\cdot |z|\\\\ \Longleftrightarrow\quad |z^{-1}|=\dfrac{1}{|z|}[/tex]

Como consequência da proposição 1, temos

     [tex]\left\{\begin{array}{l} \mathrm{Re}(z^{-1})=\dfrac{\mathrm{Re}(z)}{|z|^2}\\\\ \mathrm{Im}(z^{-1})=-\,\dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|^2}\end{array}\right.[/tex]

Aplicando a fórmula obtida na proposição 1, segue que

     [tex](z^{-1})^{-1}=\dfrac{\mathrm{Re}(z^{-1})}{|z^{-1}|^2}-\dfrac{\mathrm{Im}(z^{-1})}{|z^{-1}|^2}\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad (z^{-1})^{-1}=\dfrac{\frac{\mathrm{Re}(z)}{|z|^2}}{~(\frac{1}{|z|})^2~}-\dfrac{(-\,\frac{\mathrm{Im}(z)}{|z|^2})}{~(\frac{1}{|z|})^2~}\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad (z^{-1})^{-1}=\dfrac{~\frac{\mathrm{Re}(z)}{|z|^2}~}{\frac{1}{|z|^2}}+\dfrac{~\frac{\mathrm{Im}(z)}{|z|^2}~}{\frac{1}{|z|^2}}\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad (z^{-1})^{-1}=\dfrac{\mathrm{Re}(z)}{|z|^2}\cdot |z|^2+\left(\dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|^2}\cdot |z|^2\right)\!i\\\\ \Longleftrightarrow\quad (z^{-1})^{-1}=\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad (z^{-1})^{-1}=z\qquad\square[/tex]

[Proposição 2] Seja [tex]z\in\mathbb{C}.[/tex] Então [tex]\mathrm{Im}(iz)=\mathrm{Re}(z).[/tex]

     [Demonstração]

De fato, temos

     [tex]iz=i(a+bi)\\\\ \Longleftrightarrow\quad iz=ai+bi^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad iz=ai+b(-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad iz=-b+ai[/tex]

Portanto,

     [tex]\Longrightarrow\quad \mathrm{Im}(iz)=\mathrm{Im}(-b+ai)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{Im}(iz)=a=\mathrm{Re}(z)\qquad\blacksquare[/tex]

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