✅ Dadas as funções, obtém-se que

☁ Definição: Um ponto [tex]\rm x = c \in \mathbb{D}om(f)[/tex] de uma função real de uma variável é um ponto crítico se a derivada primeira se anular ou não existir neste.

✍ Solução: No item a), derivemos a função aplicando a linearidade da derivada

[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \dot f(x) &=\rm \frac{d}{dx}[\sin(x)] - \frac{d}{dx}[\cos(x)] \\\\&=\displaystyle\rm \cos(x) + \sin(x) \end{aligned}\end{array}[/tex]

Pela definição, façamos [tex]\rm \dot f(x) = 0[/tex] [ resolvi essa equação no anexo ], então:

[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \sin(x) + cos(x) = 0 \Leftrightarrow \\\\\rm \sin(x) = -\cos(x) \\\rm ou\\\rm cos(x) = -\sin(x) \\\\\rm\therefore\: x = k\pi -\dfrac{\pi}{4},~k\in\mathbb{Z} \end{array}[/tex]

Assim

[tex]\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm\therefore\: x = \Bbbk\pi - \dfrac{\pi}{4},~\Bbbk\in\mathbb{Z}\text{ s\~ao pontos cr\'iticos de f} }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare \end{array}[/tex]

I.e., todos os arcos côngruos de múlltiplos inteiros de [tex]\pi[/tex] subtraídos de [tex]\tfrac{\pi}{4}[/tex].

Para o item b), seja [tex]\rm y = (x^2 - 9)^{\tfrac{2}{3}}[/tex]. Sua derivada é

[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \dot y(x) &=\rm \dfrac{d}{dx}[ (x^2 - 9)^{\tfrac{2}{3}}] \cdot \dfrac{d}{dx}[x^2-9] \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{2}{3}(x^2-9)^{-\tfrac{1}{3}} \cdot 2x \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{4x}{3\sqrt[3]{\rm x^2-9}} \end{aligned}\end{array}[/tex]

Da definição, vem que os pontos críticos [tex]\rm x[/tex] são tais que [tex]\rm \dot f(x) = 0[/tex], i.e.

[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{4x}{3\sqrt[3]{\rm x^2-9}} = 0 \Leftrightarrow 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}[/tex]

Mas um ponto crítico também possui a característica da derivada não existir. E isso ocorre quando o denominador da função derivada se anula

[tex]\large\begin{array}{lr}\rm 3\sqrt[3]{\rm x^2-9} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 9 = 0\Leftrightarrow x=\pm3 \end{array}[/tex]

Dessa maneira

[tex]\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: x = -3,~x=0, x=3,\text{ s\~ao pontos cr\'iticos de f} }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare \end{array}[/tex]

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre :

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]