Resposta:

Alternativa 5.

Explicação passo a passo:

Encontremos a solução implícita da equação diferencial dada:

[tex]t\,.\,cos(t) = (2x + e^{3x})\,.\,\frac{dx}{dt}\\\\t\,.\,cos(t)\,\,dt = (2x + e^{3x})\,\,dx\\\\\int {t\,.\,cos(t)} \, dt = \int {(2x + e^{3x})} \, dx\\\\cos(t) + t\,.\,sen(t) = x^2 + \frac{1}{3}e^{3x} + C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)[/tex]

Para calcularmos o valor da constante de integração, vamos usar o fato de que [tex]x = 0[/tex] para [tex]t = 0.[/tex] Assim:

[tex]cos(0) +0\,.\,sen(0) = 0^2 + \frac{1}{3}e^{3\,.\,0}+C\\\\1 + 0 = 0 + \frac{1}{3} + C\\\\C = 1 - \frac{1}{3}\\\\C = \frac{2}{3}[/tex]

Substituindo o valor de [tex]C[/tex] em [tex](I)[/tex], temos:

[tex]cos(t) + t\,.\,sen(t) = x^2 + \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}.[/tex]