Um corpo executa um movimento harmônico simples descrito pela equação x=4.cos(4πt) (SI)
a) Identifique a amplitude, a freqüência e o período do movimento.
b) Em que instante, após o início do movimento, o corpo passará pela posição x=0?
a) Identifique a amplitude, a freqüência e o período do movimento.
b) Em que instante, após o início do movimento, o corpo passará pela posição x=0?
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Em um movimento harmônico simples, a posição x do corpo em função do instante t pode ser descrita por uma equação na forma
• x(t) = A · cos(ωt + φ) (i)
sendo
• A a amplitude da oscilação;
• ω a frequência angular do movimento (ou pulsação);
O período da oscilação é dado por
T = 2π/ω (ii)
e a frequência f do movimento é o inverso do período:
f = 1/T = ω/(2π) (iii)
—————
Para esta tarefa, temos
x(t) = 4 · cos(4π · t) (metros)
a) Comparando com a forma da equação (i), temos que
• A amplitude é A = 4 m;
• A pulsação é ω = 4π rad/s.
Dessa forma,
• O período é
T = 2π/ω
T = 2π/(4π)
T = 1/2 s
T = 0,5 s
e a frequência é
f = 1/T
f = 1/(1/2)
f = 2 Hz
—————
b) Encontrar o 1º instante t > 0, de modo que a posição se anula:
x(t) = 0
4 · cos(4π · t) = 0
cos(4π · t) = 0
mas 0 = cos(π/2). Então, a equação acima fica
cos(4π · t) = cos(π/2)
Resolvendo a igualdade de cossenos, devemos ter
4π · t = ± π/2 + k · 2π
Dividindo os dois lados por 4π,
t = ± π/(2 · 4π) + k · 2π/(4π)
t = ± 1/8 + k · 1/2
Reduzindo as frações ao mesmo denominador,
t = ± 1/8 + k · 4/8
Coloque 1/8 em evidência:
t = 1/8 · (± 1 + k · 4)
t = 1/8 · (4k ± 1)
t = 1/8 · (4k – 1) ou t = 1/8 · (4k + 1)
onde k é um inteiro.
• Para k < 0, encontramos valores negativos para t (não se aplica).
• Para k = 0, encontramos
t = 1/8 · (4 · 0 – 1) ou t = 1/8 · (4 · 0 + 1)
t = – 1/8 s (não serve) ou t = 1/8 s
t = 1/8 s <———— esta é a resposta.
O primeiro instante em que a posição se anula será t = 1/8 s.
É importante observar que, como o movimento é oscilatório, a posição volta a se anular em outros instantes maiores que 1/8 s (para outros valores inteiros de k).
Bons estudos! :-)