(ÁLGEBRA LINEAR) Verifique que o conjunto: S1 = S2 = S3 = forma uma base ortogonal para R³ e esc.... Pergunta de ideia deNiselinz

November 2019 1 174 Report

(ÁLGEBRA LINEAR) Verifique que o conjunto:

S1 = $\left[\begin{array}{c}-2&&\\1&&\\-1&&\end{array}\right]$

S2 = $\left[\begin{array}{c}1&&\\-1&&\\-3&&\end{array}\right]$

S3 = $\left[\begin{array}{c}4&&\\7&&\\-1&&\end{array}\right]$

forma uma base ortogonal para R³ e escreva B = $\left[\begin{array}{c}3&&\\-1&&\\5&&\end{array}\right]$ como combinação linear de S1, S2, S3.

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GFerraz

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Olá, Nise!

Para três vetores formarem uma base, seu produto vetorial precisa ser não-nulo. Para ser uma base ortogonal, basta que o produto interno dois a dois deles seja nulo.

S1 · S2 = (-2)(1) + (1)(-1) + (-1)(-3) = -2 -1 +3 = 0

S1 · S3 = (-2)(4) + (1)(7) + (-1)(-1) = -8 + 7 + 1 = 0

S2 · S3 = (1)(4) + (-1)(7) + (-3)(-1) = 4 – 7 + 3 = 0

Como todos os produtos internos são nulos, temos que os três vetores são todos perpendiculares entre si. Logo, para o R³ eles formam uma base e, além disso, a base é ortogonal. Posto isso, qualquer ponto pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Para B = (3, -1, 5), segue que:

(3, -1, 5) = p(-2, 1, -1) + q(1, -1, -3) + r(4, 7, -1)

(3, -1, 5) = (-2p, p, -p) + (q, -q, -3q) + (4r, 7r, -r)

(3, -1, 5) = (-2p + q + 4r, p – q + 7r, -p – 3q – r )

Isso é um sistema linear de três equações, com método de solução trivial(embora não seja rápido).

-2p + q + 4r = 3

p – q + 7r = -1

-p -3q – r = 5

Trocamos a segunda equação com a primeira:

p – q + 7r = -1

-2p + q + 4r = 3

-p -3q – r = 5

Multiplicamos a primeira por 2 e somamos à segunda, somamos à primeira à terceira: