(CÁLCULO) Encontre a equação da reta normal à curva com equação X³ + Y³ - 2X + 3Y = 0 na origem.... Pergunta de ideia deNiselinz

November 2019 1 154 Report

(CÁLCULO) Encontre a equação da reta normal à curva com equação X³ + Y³ - 2X + 3Y = 0 na origem.

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Olá

Equação da reta normal:

RN: $\displaystyle \mathsf{y-y(x_o)~=~ -\frac{1}{y'(x_0)}(x-x_0) }$

Equação dada:

X³ + Y³ - 2X + 3Y = 0

Como passa pela origem, isso implica no ponto (0,0)

Não precisamos nem isolar o 'y' para obter a função, pois sabemos que a função no ponto (0,0), resultará em 0.

Agora, temos que derivar implicitamente para encontrar a função, e em seguida calcular no ponto (0,0).

OBS: Você pode isolar o 'y' e em seguida derivar normalmente, porém, dará muito mais trabalho.

X³ + Y³ - 2X + 3Y = 0

Derivando implicitamente

3x³⁻¹ + 3y³⁻¹.y' - 2x¹⁻¹ + 3y' = 0

3x² + 3y²y' - 2 + 3y' = 0

Isolando y'

3y²y' + 3y' = -3x² + 2

y'(3y² + 3) = -3x² + 2

$\displaystyle\mathsf{y'= \frac{-3x^2+2}{3y^2+3} }$

Calculando a derivada no ponto (0,0)

$\displaystyle\mathsf{y'(0)= \frac{-3(0)^2+2}{3(0)^2+3} }\\\\\\\\\mathsf{y'(0)= \frac{2}{3} }$

Já temos todos os dados, então basta substituir na fórmula

$\displaystyle \mathsf{y-y(x_o)~=~- \frac{1}{y'(x_0)}(x-x_0) }\\\\\\\\\mathsf{y-0~=~ -\frac{1}{ \frac{2}{3} }(x-0) }\\\\\\\\\boxed{\mathsf{y=- \frac{3}{2}x }}\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Reta normal a curva dada}$

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Niselinz Muito obrigada avengercrawl!! :-)