(CÁLCULO) Calcule a seguinte integral: #Use integração por frações parciais.... Pergunta de ideia deNiselinz

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Olá Niselinz.

Organizando a integral.

$\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{5x^2-3x+2}{x^3-x^2}~dx=\int \dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx}$

Como no denominador temos um polinômio de grau 3 e conseguimos fatorar esse polinômio deixando-o irredutivel, então podemos escrever aquela fração de polinômio como a soma de 3 frações.

Podemos considerar então a existência de 3 constantes A, B e C tais que:

$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x + 2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}}$

Desenvolvendo.

$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{A\cdot x(x-1)+B\cdot(x-1)+C\cdot x^2}{x^2\cdot(x-1)}}$

A ideia agora é colocar o monômio de grau 2 e de grau 1 em evidência em termos das contantes A, B e C.

$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{x^2\cdot(A+C)-x\cdot(A-B)-B}{x^2\cdot(x-1)}}$

Comparando termo a termo teremos o seguinte sistema.

$\mathsf{\begin{cases}\mathsf{A+C=5}\\\\\mathsf{A-B=3}\\\\\mathsf{-B=2}\end{cases}~~\Rightarrow~~B=-2~~~e~~~A=1~~~e~~~C=4}$

Logo, nossa expressão ficará no seguinte formato:

$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{4}{x-1}}$

Substituindo na nossa integral.

$\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx=\int\Big[\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{4}{x-1}\Big]~dx}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\int\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx=\ell n(x)-2\cdot \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+4\cdot \ell n(x-1)+C}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\int\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx=\ell n(x)+4\ell n(x-1)+\dfrac{2}{x}+C}$

Dúvidas? comente.

superaks Lembrando que C = 4 e B = - 2

superaks 16 = 2A - 2 + 16

superaks 2A = 2 ---> A = 1

superaks Se ficou alguma outra parte confusa avise

Niselinz Consegui acompanhar o raciocínio direitinho!! eu estava me confundindo nessa parte dos termos pq acabei cancelando oq não era pra cancelar...

Niselinz muito obrigada por explicar passo a passo e tão detalhado :D muito grata, Superaks!!! ^-^

superaks Que bom que entendeu !! Disponha !

luccasreis13 Estranho... Na engenharia eu vi integral por partes, não por fracionaria por partes

Niselinz Chama-se integral por frações parciais, Lucas. a outra forma é integral por partes... :) assim q eu aprendi.

Niselinz por integral por partes eu faço: int de u . dv = u . v - int v . du

luccasreis13

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Fatorando a integral:

∫ 5x² - 3.x + 2. dx =>  5x² - 3.x + 2
x³ - x² x².(x-1)

Fração por binômio:
- Na fração sempre será x , x² , x³ (...) (x-1), (x-2)
I
Enquanto tiver a sobra, se acabou, começa (x-1)...

∫ 5.x² - 3.x + 2.dx => A1 + A2 + A3    .... An
x³ - x² x x² (x-1) (x-n)
∫ 5.x² - 3.x + 2 dx => A1.x².(x-1) + A2.(x-1) + A3.x²
x³ - x² x².(x-1)

- Fatorando novamente:
∫ 5.x² - 3.x + 2 dx =>  (A1 + A3 ).x² + (A1 - A2).x - A2
x³ - x² x².(x-1)

Lembrando que no numerador é uma Equação de 2°Grau, ou seja:
- Lei de Formação do 2°Grau:
F(x) = a.x² + b.x + c
I I I
- Sabendo disto, possui (x²) + (b.x) +c = 3 termos. Então, temos:
- Equação 2°Grau  5.x² - 3.x + 2
- Forma Fatorada (A1+A3).x² - (A1 - A2).x - A2

- Igualando com o termo da equação de 2°grau. Onde binômio = a,b,c , temos:

A1 + A3 = 5 => 1 + A3 = 5 => A3 = 4
A1 - A2 = 3 => A1 - (-2) = 3 => A1 = 1
- A2 = 2 => A2 = -2

- Aplicando valores, teremos:
  ∫ 5.x² - 3.x + 2.dx =   A1 +   A 2 +   A 3
x³ - x² x x²   (x-1)

  ∫ 5.x² - 3.x + 2.dx = [ 1 - 2 +   4 ].dx
x³ - x²       x x² (x-1)

∫ 5.x² - 3.x + 2. dx = ln(x) + 4.ln(x-1) + 2 + C
x³ - x² x

Niselinz Obrigada Luccasreis13!! :-)

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Calcule a derivada: h(x): x+1 / x ln x

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