(Cálculo) Considere a curva de equação: Y = 3X⁴ + 4X³ - 12X² + 20. Quais os pontos da curva possuem.... Pergunta de ideia deNiselinz

December 2019 1 144 Report

(Cálculo) Considere a curva de equação: Y = 3X⁴ + 4X³ - 12X² + 20.
Quais os pontos da curva possuem retas tangentes horizontais?

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Verkylen

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Olá!

Os pontos da curva que possuem retas tangentes horizontais são os pontos de mínimo e máximo da função. Portanto, basta-nos determiná-los. Por se tratar de uma função do quarto grau de coeficiente 'a' positivo, há dois pontos de mínimo e um de máximo. A tangente ao gráfico de f(x) é paralela ao eixo x, isto é, horizontal nos pontos em que f'(x) = 0.
$3x^4+4x^3-12x^2+20\\\\f'(x)=3[4x^3]+4[3x^2]-12[2x^1]+20[0]\\\\f'(x)=12x^3+12x^2-24x$

As raízes de f'(x) correspondem às abcissas dos pontos de máximo e mínimo da função f(x).
$f'(x)=0\\\\0=12x^3+12x^2-24x\\\\0=x^3+x^2-2x\\\\0=(x-0)(x^2+x-2)\\\\0=(x-0)(x-1)(x+2)\\\\x=0\qquad\qquad{x}=1\qquad\qquad{x}=-2$

Já temos as abcissas dos três pontos. Para determinarmos as ordenadas, basta calcularmos a imagem das abcissas na funçâo f: f(0), f(1) e f(-2).
$f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+20\\\\f(0)=3(0)^4+4(0)^3-12(0)^2+20\rightarrow{f}(0)=20\qquad\boxed{(0,\,20)}\\\\f(1)=3(1)^4+4(1)^3-12(1)^2+20\rightarrow{f}(1)=15\qquad\boxed{(1,\,15)}\\\\f(-2)=3(-2)^4+4(-2)^3-12(-2)^2+20\rightarrow{f}(-2)=-6\qquad\boxed{(-2,\,-6)}$

Os pontos da curva de função f que possuem retas tangentes horizontais são: (0, 20); (1, 15) e (-2, -6).

Bons estudos!

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Niselinz ótima resolução!! obrigada, Verkylen!! =)

Verkylen Tive que editar. Pronto!

Verkylen Obrigado!

Niselinz Okais! :-)