Seja a área de um polígono regular de n lados, isto é Podemos imaginar um círculo como um "polígono.... Pergunta de ideia deNiiya

November 2019 1 481 Report

Seja $\mathsf{A_{n}}$ a área de um polígono regular de n lados, isto é

$\bullet\,\,\mathsf{n=3\,\,\Longrightarrow\,\,A_{3}\,\,\'e\,\,a\,\,\'area\,\,de\,\,um\,\,tri\^angulo\,\,equil\'atero}\\\\\bullet\,\,\mathsf{n=4\,\,\Longrightarrow\,\,A_{4}\,\,\'e\,\,a\,\,\'area\,\,de\,\,um\,\,quadrado}\\\\\vdots$

Podemos imaginar um círculo como um "polígono de infinitos lados", logo sua área pode ser definida por

$\mathsf{A_{circ}:=\lim\limits_{n\to\infty}A_{n}}$

Considere um círculo de raio r e polígonos regulares inscritos nesse círculo, de modo que $\mathsf{A_{n}}$ represente a área do polígono regular de n lados inscrito no círculo. Mostre, via limites, que

$\mathsf{A_{circ}=\lim\limits_{n\to\infty}A_{n}=\pi r^{2}}$ .

Dica: Encontre uma fórmula geral para $\mathsf{A_{n}}$

Obs: O limite fundamental pode ser utilizado

$\mathsf{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{sen\,x}{x}=1\,\,\,ou\,\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}}\dfrac{sen\big(f(x)\big)}{f(x)}=1}$

Se f é uma função derivável com f(x₀) = 0.

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Lukyo

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Considere um polígono regular de n lados (n > 2).

Sabemos que devido à simetria do polígono regular, existe uma circunferência de raio r que circunscreve o polígono.

Todo polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos isósceles congruentes, com vértices no centro da circunferência que o circunscreve, e bases sobre cada um de seus lados.

Cada um dos triângulos isósceles terá o ângulo do vértice medindo $\mathsf{\theta=\dfrac{2\pi}{n}}$ radianos, e os seus lados congruentes coincidirão com raios da circunferência, cada um com medida r.

A área de cada triângulo isósceles é

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot sen\,\theta}\\\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{r^2}{2}\,sen\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}$

Então, a área do polígono regular será

$\mathsf{A_n=n\cdot A_{\triangle}}\\\\\\ \mathsf{A_n=n\cdot \dfrac{r^2}{2}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A_n=\dfrac{nr^2}{2}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)} \end{array}}$

Segue que a área do círculo é

$\mathsf{A_{circ.}=\underset{n\to \infty}{lim}~A_n}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{nr^2}{2}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{\pi nr^2}{2\pi}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{n}{2\pi}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \large\begin{array}{l}\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{sen\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\frac{2\pi}{n}}}\end{array}$

Para calcular o limite da sequência acima, recorremos à função de variável real x associada a ela. Se o limite da função nos reais existe, então o limite da sequência também existe e terá o mesmo valor do limite da função.

$\large\begin{array}{l}\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{x\to\infty}{lim}~\dfrac{sen\left(\frac{2\pi}{x}\right)}{\frac{2\pi}{x}}}\end{array}$

Fazendo uma mundança de variável:

$\mathsf{u=\dfrac{2\pi}{x}}$

temos que $\mathsf{u\to 0^+}$ quando $\mathsf{x\to \infty.}$

Então, a expressão para a área do círculo fica

$\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{u\to 0^+}{lim}~\dfrac{sen\,u}{u}}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot 1}$

$\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2}$ ✔

como queríamos mostrar.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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Niiya Perfeita, mais uma vez! Obrigado pela resposta :)

Lukyo De nada! :)

A função gama é definida, para cada x > 0, por Prove que, para todo x > 0, Conclua que a função gama interpola os fatoriais, isto é, que todo fatorial pertence à imagem de

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Niiya November 2019 | 0 Respostas

Prove que, se um número real tem uma quantidade finita de dígitos, então ele é racional. Dê um contra exemplo para a recíproca (isto é, dê exemplo de um número que é racional mas que possui infinitos dígitos).

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Niiya November 2019 | 0 Respostas

Seja x um número real positivo qualquer. Definimos o logaritmo de x como sendo Utilizando exclusivamente essa definição, mostre que, para quaisquer x, y positivos,

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Niiya November 2019 | 0 Respostas

Para cada n ≥ 1 natural, define-se φ(n) como sendo a quantidade de números coprimos com n (dois inteiros x, y são coprimos se mdc(x,y) = 1) Isto é, φ(n) = #{ 1 ≤ m ≤ n : mdc(m,n) = 1 } Tal função φ é chamada Função Phi de Euler (ou função totiente). Seja p um número primo. Encontre φ(p) e φ(pᵏ) usando conceitos conhecidos de números primos e de número de divisores de um inteiro

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Niiya November 2019 | 0 Respostas

Prove o critério de divisibilidade do 11 utilizando congruências ou o princípio de indução finita Isto é, mostre que um número inteiro da forma ( são os dígitos do número) é divisível por 11 se, e somente se, é um número divisível por 11.

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Niiya November 2019 | 0 Respostas

Teorema de Euler (Álgebra) Dado dois inteiros m e n com mdc(m,n) = 1, tem-se que Onde é a função Phi de Euler, que, para cada inteiro n, retorna a quantidade de inteiros menores que n que são coprimos com n Algumas propriedades importantes de : ________________________________ Encontre o resto da divisão de por .

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Niiya November 2019 | 0 Respostas

Sejam a, m, n inteiros com mdc(m,n) = 1 Mostre que, se m divide a e n divide a, então(mn) divide a

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A função gama é definida, para cada x > 0, por Prove que, para todo x > 0, Conclua que a função gama interpola os fatoriais, isto é, que todo fatorial pertence à imagem de

Prove que, se um número real tem uma quantidade finita de dígitos, então ele é racional. Dê um contra exemplo para a recíproca (isto é, dê exemplo de um número que é racional mas que possui infinitos dígitos).

Seja x um número real positivo qualquer. Definimos o logaritmo de x como sendo Utilizando exclusivamente essa definição, mostre que, para quaisquer x, y positivos,

Se é uma função crescente, prove queonde é a função mínimo (retorna o mínimo entre dois valores).

Seja uma função contínua. Mostre que Obs: A notação é para indicar que a função é nula em todo o intervalo

Sejam a, b, m números inteiros com mdc(a,m) = 1. Mostre que, se a divide (mb), então a divide b.

Prove o critério de divisibilidade do 11 utilizando congruências ou o princípio de indução finita Isto é, mostre que um número inteiro da forma ( são os dígitos do número) é divisível por 11 se, e somente se, é um número divisível por 11.

Sejam a, m, n inteiros com mdc(m,n) = 1 Mostre que, se m divide a e n divide a, então(mn) divide a

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