Seja uma função contínua. Mostre que Obs: A notação é para indicar que a função é nula em todo o .... Pergunta de ideia deNiiya

November 2019 1 373 Report

Seja $\mathsf{f:[a,b]\to\mathbb{R}}$ uma função contínua. Mostre que

$\mathsf{f\equiv0\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\displaystyle\int_{a}^{b}\big[f(x)\big]^{2}dx=0}$

Obs: A notação $\mathsf{f\equiv0}$ é para indicar que a função $\mathsf{f}$ é nula em todo o intervalo $\mathsf{[a,b]}$

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Lukyo

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Seja f: [a, b] ⟶ ℝ uma função contínua. Mostre que

f ≡ 0 ⟺ $\displaystyle\int_a^b$ [f(x)]² dx = 0.

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Observação: Ao longo desta resposta, por conveniência de notação, [f(x)]² será denotado por f²(x) ou simplesmente por f².

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  •  (i) Mostrar que

se $f\equiv 0,$ então $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0.$

Sendo f identicamente nula no intervalo [a, b], segue diretamente que

$\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx\\\\\\=\int_a^b 0^2\,dx\\\\\\=\int_a^b 0\,dx\\\\\\ =0\qquad\quad\square$

•  (ii) Mostrar que

se   $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0,$ então $f\equiv 0.$

Suponha por absurdo que

$\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0$

e exista algum ponto x₀ ∈ [a, b], tal que f(x₀) ≠ 0.

Vamos analisar primeiramente o caso em que  x₀ está no interior do intervalo [a, b], isto é,  x₀ ∈ (a, b).

Como f é não-nula em  x₀, consequentemente,

$f^2(x_0)>0.$

Como f é contínua em [a, b], então f² também é contínua (logo integrável) em [a, b].

Pela definição de continuidade, dizer que f² é contínua significa afirmar que

para todo  ε > 0, existe um  δ > 0, tal que

se x₀ − δ < x < x₀ + δ, então f²(x₀) − ε < f²(x) < f²(x₀) + ε.

Se a implicação acima vale para para todo ε > 0, então vale, em particular, para

$\varepsilon=\dfrac{f^2(x_0)}{2}>0$

isto é,

se  x₀ − δ < x < x₀ + δ, então

$f^2(x_0)-\dfrac{f^2(x_0)}{2}<f^2(x)<f^2(x_0)+\dfrac{f^2(x_0)}{2}\\\\\\ \dfrac{f^2(x_0)}{2}<f^2(x)<\dfrac{3f^2(x_0)}{2}$

Da 1ª desigualdade acima, tiramos que

$f^2(x)>\dfrac{f^2(x_0)}{2}>0.$

Agora vamos avaliar a integral definida de f² no intervalo I := (x₀ − δ, x₀ + δ). Com base na desigualdade acima, podemos aplicar uma das propriedades para a integral definida:

$\displaystyle f^2(x)\ge \dfrac{f^2(x_0)}{2}\\\\\\ \Longrightarrow\quad \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f^2(x)\,dx\ge \dfrac{f^2(x_0)}{2}\cdot [(x_0+\delta)-(x_0-\delta)]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\int_I f^2(x)\,dx\ge \dfrac{f^2(x_0)}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \diagup\!\!\!\! 2\delta\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\int_I f^2(x)\,dx\ge f^2(x_0)\cdot \delta>0$

Avaliemos agora a integral definida de f² sobre todo o intervalo [a, b]:

Como f² é estritamente positiva, temos que $\displaystyle\int_{[a,\,b]\setminus I}\, f^2(x)\,dx\ge 0.$ Logo,

$\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=\int_I f^2(x)\,dx+\int_{[a,\,b]\setminus I}\, f^2(x)\,dx\\\\\\ \Longrightarrow\quad\int_a^b f^2(x)\,dx\ge \int_I f^2(x)\,dx>0\qquad\textsf{(absurdo!)}$

pois supusemos no início que $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0.$

Então, devemos ter necessariamente

$f(x)\equiv 0\qquad\quad \square$

Caso  x₀ = a ou  x₀ = b (extremos do intervalo de integração), a demonstração do absurdo é análoga, bastando adequar as análises para uma vizinhança à direita de  x₀ = a e uma vizinhança à esquerda de  x₀ = b.

Com isso,

$\displaystyle f\equiv 0\quad\Longleftrightarrow \quad\int_a^b f^2(x)\,dx=0\qquad\quad\blacksquare$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

2 votes Thanks 2

Niiya Ótima resposta, obrigado :)

Lukyo De nada. :)