Resposta:

Conjunto solução: [tex]S=\{4\}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Resolver a equação exponencial:

     [tex]\dfrac{27^x-3^x}{9^x-3^x}=82\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{(3^3)^x-3^x}{(3^2)^x-3^x}=82\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{3^{3x}-3^x}{3^{2x}-3^x}=82\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{(3^x)^3-3^x}{(3^x)^2-3^x}=82\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Faça a seguinte mudança de variável:

     [tex]3^x=t,\quad\mathrm{com~}t>0\mathrm{~e~}t\ne 1.[/tex]

Atenção: Observar a condição de existência, pois o denominador não pode ser igual a zero.

Substituindo em (i), a equação fica

     [tex]\dfrac{t^3-t}{t^2-t}=82\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{t(t^2-1)}{t(t-1)}=82\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{t(t-1)(t+1)}{t(t-1)}=82\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{t(t-1)(t+1)}{t(t-1)}-82=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{t(t-1)(t+1)-82t(t-1)}{t(t-1)}=0[/tex]

Coloque o fator comum [tex]t(t-1)[/tex] em evidência no numerador:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{t(t-1)((t+1)-82)}{t(t-1)}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{t(t-1)(t-81)}{t(t-1)}=0[/tex]

Como [tex]t(t-1)\ne 0,[/tex] devemos ter necessariamente

     [tex]\Longrightarrow\quad t-81=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=81[/tex]

Substitua de volta [tex]t=3^x:[/tex]

     [tex]\Longrightarrow\quad 3^x=81\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^x=3^4[/tex]

A função exponencial é injetora no conjunto dos reais. Logo, duas exponenciais de mesma base são iguais somente se os expoentes forem iguais. Portanto,

     [tex]\Longleftrightarrow\quad x=4[/tex]

Conjunto solução:   [tex]S=\{4\}.[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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Resposta: O valor da variável x nesta equação exponencial é 4.

O problema simplesmente pede para resolver a seguinte equação exponencial no conjunto dos reais:

[tex] \dfrac{27^x~-~3^x}{9^x~-~3^x}~=~82\\\\\\ \dfrac{\left(3^3\right)^x~-~3^x}{\left(3^2\right)^x~-~3^x}~=~82\\\\\\ \dfrac{3^{3x}~-~3^x}{3^{2x}~-~3^x}~=~82[/tex]

Para resolver essa equação exponencial de uma forma bem mais simples, o que vamos tentar fazer é fatorar. Observe que se tomarmos [tex]\sf 3^x[/tex] como um fator comum o que vamos obter é:

[tex] \dfrac{\not\!\!3^x\cdot\left(3^{2x}~-~1\right)}{\not\!\!3^x\cdot\left(3^{x}~-~1\right)}~=~82\\\\\\ \dfrac{3^{2x}~-~1}{3^x~-~1}~=~82[/tex]

Podemos ver que fatorar a primeira parte de nossa equação exponencial resultou em uma equação exponencial muito mais fácil de resolver. Observe que [tex]\sf 3^{2x}~-~1[/tex] pelas leis dos expoentes pode ser escrito como [tex]\sf \left(3^x\right)^2~-~1^ 2[/tex], por definição [tex] \sf x^2~-~y^2~=~\left(x~+~y\right)\cdot\left(x~-~y\right)[/tex], portanto temos que:

[tex] \dfrac{\left(3^x\right)^2~-~1}{3^x~-~1}~=~82 \\\\\\ \dfrac{\left(3^x~+~1\right)\cdot\left(3^x~-~1\right)}{3^x~-~1}~=~82\\\\\\ 3^x~+~1~=~82\\\\\\ 3^x~=~81 [/tex]

A equação exponencial que temos agora não é nada difícil de resolver. Se você repetir as potências do número 3, poderá ver que [tex]\sf 3^4[/tex] é o mesmo que 81, então temos:

[tex] \not\!\!3^x~=~\not\!\!3^4 \\\\\\ \boxed{\sf \therefore~x~=~4}~~\Rightarrow~Resposta[/tex]

Veja mais sobre o assunto de soluções de equações exponenciais nos links a seguir:

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