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Resposta:  Conjunto solução:   [tex]S=\{0\}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Resolver a equação exponencial

     [tex]4^x+6^x=9^x\cdot 2[/tex]

Escreva as bases das exponenciais 4, 6 e 9 decompostas em fatores primos, e simplifique aplicando as propriedades da potenciação:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad (2^2)^x+(2\cdot 3)^x=(3^2)^x\cdot 2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{2x}+2^x\cdot 3^x=3^{2x}\cdot 2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{2x}+2^x\cdot 3^x-2\cdot 3^{2x}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{2x}+2^{2x-x}\cdot 3^x-2\cdot 3^{2x}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{2x}+2^{2x}\cdot 2^{-x}\cdot 3^x-2\cdot 3^{2x}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{2x}+2^{2x}\cdot \dfrac{3^x}{2^x}-2\cdot 3^{2x}=0[/tex]

Coloque o fator [tex]2^{2x}[/tex] em evidência no lado esquerdo:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 2^{2x}\cdot \left(1+\dfrac{3^x}{2^x}-2\cdot \dfrac{3^{2x}}{2^{2x}}\right)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{2x}\cdot \left[1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}-2\cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2x}\right]=0[/tex]

Como para todo x real, temos [tex]2^{2x}>0,[/tex] devemos ter então

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}-2\cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2x}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}-2\cdot \left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}\right]^{\! 2}=0\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Faça a seguinte mudança de variável:

     [tex]\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}=t,\quad\mathrm{com~}t>0.[/tex]

Substituindo em (i), a equação fica

     [tex]\Longrightarrow\quad 1+t-2t^2=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2t^2-t-1=0[/tex]

Esta é uma equação quadrática na variável t. Vamos resolvê-la via fatoração por agrupamento.

Reescreva convenientemente o termo [tex]-t[/tex] como [tex]-2t+t:[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 2t^2-2t+t-1=0[/tex]

Fatorando por agrupamento, temos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 2t(t-1)+1\cdot (t-1)=0[/tex]

Coloque o fator comum [tex](t-1)[/tex] em evidência:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad (t-1)\cdot (2t+1)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad t-1=0\quad\mathrm{ou}\quad 2t+1=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=1\quad\mathrm{ou}\quad t=-\,\dfrac{1}{2}[/tex]

O valor negativo para t não se aplica, pois t é uma função exponencial na variável x. Portanto,

     [tex]\Longrightarrow\quad t=1[/tex]

Substitua de volta [tex]t=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}:[/tex]

     [tex]\Longrightarrow\quad \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}=1\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! x}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 0}[/tex]

Agora temos uma igualdade entre exponenciais de mesma base. Como a função exponencial é injetora, a solução é única e obtida igualando os expoentes. Logo, finalmente encontramos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad x=0.[/tex]

Conjunto solução:   [tex]S=\{0\}.[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!

Resposta:

[tex]\textsf{Leia abaixo}[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\sf 4^x + 6^x = 9^x \:.\:2[/tex]

[tex]\sf \dfrac{4^x}{4^x} + \dfrac{6^x}{4^x} = \dfrac{9^x}{4^x} \:.\:2[/tex]

[tex]\sf \left(\dfrac{4}{4}\right)^x + \left(\dfrac{6}{4}\right)^x = \left(\dfrac{9}{4}\right)^x \:.\:2[/tex]

[tex]\sf 1 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x} \:.\:2[/tex]

[tex]\sf y = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x[/tex]

[tex]\sf 2y^2 - y - 1 = 0[/tex]

[tex]\sf 2y^2 - y + 2y - 2y- 1 = 0[/tex]

[tex]\sf 2y^2 + y - 2y- 1 = 0[/tex]

[tex]\sf y(2y + 1) - 1(2y + 1) = 0[/tex]

[tex]\sf (y - 1)\:.\:(2y + 1) = 0[/tex]

[tex]\sf \left(\dfrac{3}{2}\right)^x = 1[/tex]

[tex]\sf \left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \left(\dfrac{3}{2}\right)^0[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{\sf S = \{0\}}}[/tex]