Resposta: O resto da divisão é 1 (um).
Explicação passo a passo:
Dados a, k, m inteiros, m > 1, valem as seguintes propriedades:
[tex]a\equiv a+mk\pmod{m}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
[tex]a\equiv b\pmod{m}\quad\Longrightarrow\quad a^k\equiv b^k\pmod{m}\quad\mathrm{(ii)}[/tex]
Aplicando aritmética modular e propriedades de congruências modulares:
[tex]9=11-2\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad 9\equiv -2\pmod{11}[/tex]
Elevando ambos os lados da congruência à quinta potência, temos
[tex]\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longrightarrow}\quad 9^5\equiv (-2)^5\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^5\equiv -32\pmod{11}\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longleftrightarrow}\quad 9^5\equiv -32+11\cdot 3\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^5\equiv -32+33\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^5\equiv 1\pmod{11}[/tex]
Elevando ambos os lados a um natural n qualquer, temos
[tex]\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longrightarrow}\quad (9^5)^n\equiv 1^n\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{5n}\equiv 1\pmod{11}[/tex]
para todo n natural.
Como 1990 é múltiplo de 5, isto é,
1990 = 5m
para m = 398 ∈ ℕ, pela congruência acima, segue que
[tex]\Longleftrightarrow\quad 9^{1990}\equiv 9^{5\,\cdot \, 398}\equiv 1\pmod{11}[/tex]
Logo, o resto da divisão é 1.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
Resposta:
[tex]\textsf{Leia abaixo}[/tex]
[tex]\sf 9^0 \div 11 = 0 \rightarrow resto = 1[/tex]
[tex]\sf 9^1 \div 11 = 0 \rightarrow resto = 9[/tex]
[tex]\sf 9^2 \div 11 = 7 \rightarrow resto = 4[/tex]
[tex]\sf 9^3 \div 11 = 66 \rightarrow resto = 3[/tex]
[tex]\sf 9^4 \div 11 = 596 \rightarrow resto = 5[/tex]
[tex]\sf 9^5 \div 11 = 5368 \rightarrow resto = 1[/tex]
[tex]\textsf{Existe uma sequ{\^e}ncia padr{\~a}o c{\'i}clica \{1,9,4,3,5\} no resto da divis{\~a}o de }\sf 9^n\textsf{ por 11.}[/tex]
[tex]\textsf{A sequ{\^e}ncia {\'e} composta por 5 elementos \{1,9,4,3,5\}. }[/tex]
[tex]\textsf{n }\div\textsf{ 5 restam x, sendo x + 1, o {\'i}ndice da posi}\sf c_{\!\!,}\textsf{{\~a}o na sequ{\^e}ncia \{1,9,4,3,5\}.}[/tex]
[tex]\sf 1990 \div 5} = 398\rightarrow resto = 0[/tex]
[tex]\sf 9^{1990} \div 11 \rightarrow resto = \boxed{1} \rightarrow \textsf{ primeiro elemento na sequ{\^e}ncia \{1,9,4,3,5\}.}[/tex]
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Resposta: O resto da divisão é 1 (um).
Explicação passo a passo:
Propriedades de congruência modular
Dados a, k, m inteiros, m > 1, valem as seguintes propriedades:
[tex]a\equiv a+mk\pmod{m}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
[tex]a\equiv b\pmod{m}\quad\Longrightarrow\quad a^k\equiv b^k\pmod{m}\quad\mathrm{(ii)}[/tex]
Calculando o resto da divisão por 11
Aplicando aritmética modular e propriedades de congruências modulares:
[tex]9=11-2\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad 9\equiv -2\pmod{11}[/tex]
Elevando ambos os lados da congruência à quinta potência, temos
[tex]\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longrightarrow}\quad 9^5\equiv (-2)^5\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^5\equiv -32\pmod{11}\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longleftrightarrow}\quad 9^5\equiv -32+11\cdot 3\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^5\equiv -32+33\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^5\equiv 1\pmod{11}[/tex]
Elevando ambos os lados a um natural n qualquer, temos
[tex]\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longrightarrow}\quad (9^5)^n\equiv 1^n\pmod{11}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{5n}\equiv 1\pmod{11}[/tex]
para todo n natural.
Como 1990 é múltiplo de 5, isto é,
1990 = 5m
para m = 398 ∈ ℕ, pela congruência acima, segue que
[tex]\Longleftrightarrow\quad 9^{1990}\equiv 9^{5\,\cdot \, 398}\equiv 1\pmod{11}[/tex]
Logo, o resto da divisão é 1.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
Resposta:
[tex]\textsf{Leia abaixo}[/tex]
Explicação passo a passo:
[tex]\sf 9^0 \div 11 = 0 \rightarrow resto = 1[/tex]
[tex]\sf 9^1 \div 11 = 0 \rightarrow resto = 9[/tex]
[tex]\sf 9^2 \div 11 = 7 \rightarrow resto = 4[/tex]
[tex]\sf 9^3 \div 11 = 66 \rightarrow resto = 3[/tex]
[tex]\sf 9^4 \div 11 = 596 \rightarrow resto = 5[/tex]
[tex]\sf 9^5 \div 11 = 5368 \rightarrow resto = 1[/tex]
[tex]\textsf{Existe uma sequ{\^e}ncia padr{\~a}o c{\'i}clica \{1,9,4,3,5\} no resto da divis{\~a}o de }\sf 9^n\textsf{ por 11.}[/tex]
[tex]\textsf{A sequ{\^e}ncia {\'e} composta por 5 elementos \{1,9,4,3,5\}. }[/tex]
[tex]\textsf{n }\div\textsf{ 5 restam x, sendo x + 1, o {\'i}ndice da posi}\sf c_{\!\!,}\textsf{{\~a}o na sequ{\^e}ncia \{1,9,4,3,5\}.}[/tex]
[tex]\sf 1990 \div 5} = 398\rightarrow resto = 0[/tex]
[tex]\sf 9^{1990} \div 11 \rightarrow resto = \boxed{1} \rightarrow \textsf{ primeiro elemento na sequ{\^e}ncia \{1,9,4,3,5\}.}[/tex]