Resposta:

Para determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou para baixo, você pode usar o estudo do sinal da segunda derivada. Primeiro, você deve calcular a segunda derivada da função e encontrar seus pontos críticos (onde a segunda derivada é igual a zero ou não está definida). Esses pontos críticos são os candidatos a pontos de inflexão. Em seguida, você deve estudar o sinal da segunda derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, então a função tem concavidade para cima nesse intervalo. Se a segunda derivada for negativa em um intervalo, então a função tem concavidade para baixo nesse intervalo.

Para as funções que você forneceu:

A) f(x)=3x^4 -10x^3 -12x^2 +10x+9

B) f(x)=4√(x+1)-√(2)x^2/2 -1

C) f(x)= {2x-x^2 , x < 1

{x, x≥1

Você pode aplicar esse método para encontrar os pontos de inflexão e determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou para baixo.

Explicação passo-a-passo:

Vamos começar com o primeiro exemplo:

A) f(x)=3x^4 -10x^3 -12x^2 +10x+9

Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivada da função:

f'(x) = 12x^3 - 30x^2 - 24x + 10

f''(x) = 36x^2 - 60x - 24

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da segunda derivada, resolvendo a equação f''(x) = 0:

36x^2 - 60x - 24 = 0

(6x + 2)(6x - 12) = 0

x = -1/3 ou x = 2

Portanto, os pontos críticos da segunda derivada são x = -1/3 e x = 2. Esses são os candidatos a pontos de inflexão.

Agora, vamos estudar o sinal da segunda derivada nos intervalos definidos pelos pontos críticos:

- Para x < -1/3, f''(x) > 0, então a função tem concavidade para cima nesse intervalo.

- Para -1/3 < x < 2, f''(x) < 0, então a função tem concavidade para baixo nesse intervalo.

- Para x > 2, f''(x) > 0, então a função tem concavidade para cima nesse intervalo.

Portanto, a função tem dois pontos de inflexão: x = -1/3 e x = 2. A função tem concavidade para cima nos intervalos (-∞, -1/3) e (2, ∞) e concavidade para baixo no intervalo (-1/3, 2).

Vamos continuar com o segundo exemplo:

B) f(x)=4√(x+1)-√(2)x^2/2 -1

Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivada da função:

f'(x) = 4/(2√(x+1)) - √(2)x

f''(x) = -4/(4(x+1)^(3/2)) - √(2)

A segunda derivada é sempre negativa, então a função tem concavidade para baixo em todo o seu domínio.

Agora, vamos analisar o terceiro exemplo:

C) f(x)= {2x-x^2 , x < 1

{x, x≥1

Essa é uma função definida por partes. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de cada parte da função:

Para x < 1:

f'(x) = 2 - 2x

f''(x) = -2

Para x ≥ 1:

f'(x) = 1

f''(x) = 0

A segunda derivada é sempre negativa para x < 1, então a função tem concavidade para baixo nesse intervalo. Para x ≥ 1, a segunda derivada é sempre igual a zero, então a função não tem concavidade nesse intervalo.

Essas são as soluções para os três exemplos que você forneceu.