Mostre que, para todo a ∈ (− 1, 1), (arcsen x − arcsen a)/(x − a) = 1/√(1 − a²)Favor não usar as reg.... Pergunta de ideia deLukyo

November 2019 1 170 Report

Mostre que, para todo a ∈ (− 1, 1),

$\lim\limits_{x\to a}$ (arcsen x − arcsen a)/(x − a) = 1/√(1 − a²)

Favor não usar as regras de L'Hospital, nem conceito pronto de derivada.

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ArthurPDC

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Seja L o limite que queremos calcular:

$L=\lim_{x\to a}\dfrac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a}$

Vamos fazer uma troca de variáveis. Seja $y=\arcsin x\Longrightarrow x=\sin y$ . Como $a\in(-1,1)$ , podemos reescrever essa constante de maneira conveniente, como uma função seno. Seja $a=\sin b\Longrightarrow b=\arcsin a$ . Note que, quando $x\to a$ , temos $y\to b$ . Substituindo no limite:

$L=\lim_{y\to b}\dfrac{y-b}{\sin y-\sin b}$

Podemos reescrever o denominador usando a seguinte identidade trigonométrica:

$\sin p-\sin q=2\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)$

Assim:

$L=\lim_{y\to b}\dfrac{y-b}{\sin y-\sin b}\\\\
L=\lim_{y\to b}\dfrac{y-b}{2\sin\left(\dfrac{y-b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{y+b}{2}\right)}\\\\
L=\lim_{y\to b}\dfrac{\dfrac{y-b}{2}}{\sin\left(\dfrac{y-b}{2}\right)}\cdot\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{y+b}{2}\right)}$

Para visualizarmos melhor a expressão, vamos fazer uma nova troca de variáveis. Seja $t=\dfrac{y-b}{2}\Longrightarrow \dfrac{y+b}{2}=t+b$ . Assim, quando $y\to b$ , temos $t\to 0$ :

$L=\lim_{y\to b}\dfrac{\dfrac{y-b}{2}}{\sin\left(\dfrac{y-b}{2}\right)}\cdot\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{y+b}{2}\right)}\\\\
L=\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t}\cdot\dfrac{1}{\cos(t+b)}$

Mas podemos aplicar o seguinte limite fundamental:

$\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1$

Então, obtemos:

$L=\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t}\cdot\dfrac{1}{\cos(t+b)}\\\\
L=\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t}\cdot\lim_{t\to0}\dfrac{1}{\cos(t+b)}\\\\
L=\lim_{t\to 0}\left(\dfrac{\sin t}{t}\right)^{-1}\cdot\lim_{t\to0}\dfrac{1}{\cos(t+b)}\\\\
L=1\cdot\dfrac{1}{\cos(b)}\\\\
L=\dfrac{1}{\cos(b)}$

Em termos da constante dada $a:$

$L=\dfrac{1}{\cos(\arcsin a)}$

O que pode ser reescrito como:

$L=\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}\\\\
\boxed{\lim_{x\to a}\dfrac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a}=\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}}$

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Lukyo Excelente. Muito obrigado! :-)

ArthurPDC De nada!