Funções trigonométricas inversas.Resolva a equação a seguir, para − 1 ≤ x ≤ 1: 2 arcsen(x) = arcsen[.... Pergunta de ideia deLukyo

November 2019 1 142 Report

Funções trigonométricas inversas.

Resolva a equação a seguir, para − 1 ≤ x ≤ 1:

2 arcsen(x) = arcsen[2x√(1 − x²)]

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Gabarito: − √2/2 ≤ x ≤ √2/2.

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ArthurPDC

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É-nos dada a seguinte equação:

$2\arcsin(x)=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})
$

Inicialmente, vamos analisar as restrições das funções da equação dada.

As expressões presentes dentro das funções arco seno devem estar limitadas ao intervalo $[-1,1]$ , já que representam senos. Assim:

$\bullet~-1\le x\le 1~~(i)\\\\\\
\bullet -1\le 2x\sqrt{1-x^2}\le 1\\\\
a)\\-1\le 2x\sqrt{1-x^2}\\\\
-1\le 2x\sqrt{1-x^2}+x^2+(\sqrt{1-x^2})^2-x^2-(\sqrt{1-x^2})^2\\\\
-1\le (x+\sqrt{1-x^2})^2-x^2-(1-x^2)\\\\
-1\le (x+\sqrt{1-x^2})^2-1\\\\
0\le (x+\sqrt{1-x^2})^2~~(ii)\\\\\\
b)\\2x\sqrt{1-x^2}\le1\\\\
2x\sqrt{1-x^2}-x^2-(\sqrt{1-x^2})^2+x^2+(\sqrt{1-x^2})^2\le1\\\\
-(x-\sqrt{1-x^2})^2+x^2+(1-x^2)\le1\\\\
-(x-\sqrt{1-x^2})^2+1\le1\\\\
(x+\sqrt{1-x^2})^2\ge0~~(iii)$

A afirmação (i) é verdadeira pelo enunciado. As afirmações (ii) e (iii) são claramente verdadeiras também, já que as expressões em x são quadrados de números reais.

O contra-domínio da função arco seno é, por definição, o intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Como o lado direito da equação dada é uma função arco seno, o lado esquerdo também deve atender à restrição do contra-domínio, então:

$-\dfrac{\pi}{2}\le 2\arcsin(x) \le \dfrac{\pi}{2}\\\\
-\dfrac{\pi}{4}\le \arcsin(x) \le \dfrac{\pi}{4}$

Como a função seno é crescente no intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , podemos aplicá-la nas inequações acima:

$\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\le \sin(\arcsin(x)) \le \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\\
-\dfrac{\sqrt2}{2}\le x \le \dfrac{\sqrt2}{2}$

Analisadas as restrições, vamos resolver a equação. Aplicando a função seno dos dois lados:

$2\arcsin(x)=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) \\\\
\sin(2\arcsin(x))=\sin(\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}))\\\\
\sin(2\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}$

Mas, $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$ :

$2\sin(\arcsin(x))\cos(\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}\\\\
2x\cos(\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}$

Além disso, $\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}$ . Logo:

$2x\cos(\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}\\\\
2x\sqrt{1-x^2}=2x\sqrt{1-x^2}$

A equação acima é verdadeira para todo $x$ que atende às restrições do problema. Portanto, unindo todas as restrições, a solução é:

$\boxed{-\dfrac{\sqrt2}{2}\le x \le \dfrac{\sqrt2}{2}}$

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Lukyo Obrigado! :)

ArthurPDC De nada!