Vou utilizar o método do intervalo fechado para provar isso. A função é contínua e derivável em [-1, 1].
Pelo método, vamos começar derivando y:
Os números críticos de y ocorrerão quando y' = 0 ou quando y' não existe.
A análise dos valores que fazer y' não existir é imediata e são -1 e 1.
Os valores que zeram y' são os que fazem o numerador ser zero:
Agora observamos os valores de y em -1 e 1(extremos do intervalo, mas também números críticos) e em
Logo, o mínimo absoluto vale -1/2 e o máximo absoluto vale 1/2. Portanto concluímos que y é limitada de -1 a 1, então:
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GFerraz
Mas acho que seria mais interessante uma solução sem precisar de cálculo, que de certo modo tira a elegância de uma solução de exercícios desse tipo.
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Bom dia, Lukyo.Vou utilizar o método do intervalo fechado para provar isso. A função é contínua e derivável em [-1, 1].
Pelo método, vamos começar derivando y:
Os números críticos de y ocorrerão quando y' = 0 ou quando y' não existe.
A análise dos valores que fazer y' não existir é imediata e são -1 e 1.
Os valores que zeram y' são os que fazem o numerador ser zero:
Agora observamos os valores de y em -1 e 1(extremos do intervalo, mas também números críticos) e em
Logo, o mínimo absoluto vale -1/2 e o máximo absoluto vale 1/2. Portanto concluímos que y é limitada de -1 a 1, então:
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Olá Lukyo.Mostre que
Se − 1 ≤ x ≤ 1, então − 1/2 ≤ x√(1 − x²) ≤ 1/2.
________________________
Produto notável usado
_________________
Sabendo que o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a 0, temos
Ou em particular
Some em ambos os lados
Tomando e , temos
Divida ambos os lados por 4
______________
Relembrando algumas propriedades de módulo
Se a é um número real maior que 0, temos:
____________
Continuando de onde paramos
Pelo fato do intervalo de x ser [-1, 1], o fator (1 - x²) e x², nunca será negativo, pois um dos fatores se anula
Exemplo
Se x = 0
Se x = 1
.
Para x = -1
Tirando a raiz quadrada em ambos os lados da desigualdade a desigualdade é mantida
Como vimos antes, o fator é sempre maior ou igual a 0, mas não sempre positivo, portanto, podemos associar em módulo
Concluindo o que queríamos mostrar
Dúvidas? comente