Dica: Faça análise da sequência das somas parciais. Ao encontrar um padrão, deduza uma possível fórmula e verifique se está correta (usando indução, por exemplo).
Verificando o resultado da expressão para alguns valores de n
Analisando o comportamento do somatório para alguns valores de n, é notável que a diferença entre o denominador e o numerador é de 1 unidade. Também da para notar que o denominador só possui um único fator 2 para quaisquer valores de n. Tendo em conta que o numerador é uma potência de 2, então será possível fazer uma simplificação com o fator 2 (maior fator comum entre o numerador e o denominador).
Deduzir isso me permite criar uma expressão que represente o mmc das somas dessas expressões.
Através da fórmula de recorrência acima teríamos o denominador e tirando 1 unidade teríamos o numerador.
A partir de uma dedução chegamos a uma hipótese que pode ser o denominador e o numerador do somatório, mas ainda com essas informações eu não consigo achar a sua fórmula fechada. Vamos então buscar uma outra relação que possa nos ajudar a encontrar sua fórmula fechada.
Vamos verificar o comportamento da expressão quando tiramos a diferença entre os denominadores de termos consecutivos.
Perceba que ao decompor convenientemente, a diferença entre os termos consecutivos é igual a uma potência de 2 vezes o quadrado do termo antecessor.
Isso me permite deduzir uma outra equação.
Igualando as duas as duas equações
Divida ambos os lados por
Divida ambos os lados por
Portanto, a fórmula deduzida é:
Agora usaremos P.I.F para verificar se a expressão acima representa de fato a fórmula fechada da sequência dada.
Verificando se funciona na base para n = 0
Assumindo por H.I, que vale para n = t e com isso queremos demonstrar que servirá para n = t + 1
Some em ambos os lados
Concluindo o que queríamos demonstrar
De fato a fórmula deduzida representa o termo geral da sequência dada
Dúvidas? comente.
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Lukyo
Uau! Excelente :) Bem criativo.. gostei muito!!
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Olá Lukyo.Verificando o resultado da expressão para alguns valores de n
Analisando o comportamento do somatório para alguns valores de n, é notável que a diferença entre o denominador e o numerador é de 1 unidade. Também da para notar que o denominador só possui um único fator 2 para quaisquer valores de n. Tendo em conta que o numerador é uma potência de 2, então será possível fazer uma simplificação com o fator 2 (maior fator comum entre o numerador e o denominador).
Deduzir isso me permite criar uma expressão que represente o mmc das somas dessas expressões.
Através da fórmula de recorrência acima teríamos o denominador e tirando 1 unidade teríamos o numerador.
A partir de uma dedução chegamos a uma hipótese que pode ser o denominador e o numerador do somatório, mas ainda com essas informações eu não consigo achar a sua fórmula fechada. Vamos então buscar uma outra relação que possa nos ajudar a encontrar sua fórmula fechada.
Vamos verificar o comportamento da expressão quando tiramos a diferença entre os denominadores de termos consecutivos.
Perceba que ao decompor convenientemente, a diferença entre os termos consecutivos é igual a uma potência de 2 vezes o quadrado do termo antecessor.
Isso me permite deduzir uma outra equação.
Igualando as duas as duas equações
Divida ambos os lados por
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Portanto, a fórmula deduzida é:
Agora usaremos P.I.F para verificar se a expressão acima representa de fato a fórmula fechada da sequência dada.
Verificando se funciona na base para n = 0
Assumindo por H.I, que vale para n = t e com isso queremos demonstrar que servirá para n = t + 1
Some em ambos os lados
Concluindo o que queríamos demonstrar
De fato a fórmula deduzida representa o termo geral da sequência dada
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