(50 PONTOS) Como resolver passo a passo essa equação exponencial em ℝ?.... Pergunta de ideia deLukyo

January 2020 1 230 Report

(50 PONTOS) Como resolver passo a passo essa equação exponencial em ℝ?

$\mathsf{2^{t^2+t}+2^{t+2}-2^{t^2}=64}$
$~$

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DanJR Olá Lukyo, bom dia!

$\textsf{Desenvolvendo,}\\\\\mathsf{2^{t^2 + t}+2^{t+2}-2^{t^2}=64} \\\\ \mathsf{2^{t^2 + t} + 2^{t + 2} = 2^{t^2} + 64} \\\\ \mathsf{2^t \cdot (2^{t^2} + 2^2) = 2^{t^2} + 64}$

$\textsf{Tome} \ \mathsf{2^{t^2} = p \ e \ 2^{t} = q. \ Desse \ modo, \ ficamos \ com:} \\\\ \mathsf{q \cdot (p + 4) = p + 64}$

$\\ \mathsf{p \cdot q + 4q = p + 64} \\\\ \mathsf{pq - p = 64 - 4q} \\\\ \mathsf{p \cdot (q - 1) = 4 \cdot (16 - q)}$

$\mathsf{Mas, note \ que \ p, \ q > 0 (pot\^encia \ de \ dois).} \ \textsf{Desse modo, temos que:} \\\\ \mathsf{(q - 1) > 0 \ e \ (16 - q) < 0}$

Resolvendo o sistema formado pelas desigualdades acima, tiramos que:

$\\ \begin{cases} \mathsf{q - 1 > 0 \qquad \qquad i)} \\ \mathsf{16 - q < 0 \qquad \ \quad ii)} \end{cases} \\\\\\ \textsf{i)} \\\\ \mathsf{q - 1 > 0} \\ \mathsf{q > 1} \\\\ \mathsf{ii)} \\\\ \mathsf{16 - q < 0} \\ \mathsf{q > 16}$

$\mathsf{Isto \ \acute{e}, \ \boxed{\mathsf{1 < q < 16}}}.$

Vale acrescentar que: caso "q" não pertença ao intervalo encontrado, então o valor de "p" será menor que zero; todavia, isto é um ABSURDO, pois vimos que p > 0.

Por conseguinte,

$\\ \mathsf{1 < q < 16} \\\\ \mathsf{1 < 2^t < 16} \\\\ \mathsf{2^0 < 2^t < 2^4} \\\\ \boxed{\mathsf{0 < t < 4}}$

Voltemos lá para o início...

$\\ \mathsf{2^{t^2 + t} + 2^{t + 2} - 2^{t^2} = 64} \\\\ \mathsf{2^{t^2 + t} - 2^{t^2} = 2^6 - 2^{t + 2}}$

Lukyo, no intervalo que compreende "t" (muito pequeno se comparado com todos os reais), é interessante igualarmos os expoentes (dos termos do 1º membro da equação com seus respectivos termos do 2º membro) de modo que eles formem um sistema. Veja:

$\\ \begin{cases} \mathsf{t^2 + t = 6} \\ \mathsf{t^2 = t + 2} \end{cases}$

Logo, temos que:

$\\ \begin{cases} \mathsf{t^2 + t = 6} \\ \mathsf{- t^2 + t = - 2} \end{cases} \\ -------- \\ \mathsf{t^2 - t^2 + t + t = 6 - 2} \\\\ \mathsf{2t = 4} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{t = 2}}}$

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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