(50 pontos) Considere P(a, b) e P'(– a, –b) dois pontos antipodais que estão sobre o ciclo trigonométrico; onde P e P' são pontos do 1º e do 3º quadrantes respectivamente.
Sendo θ o ângulo que a semirreta Ox forma com o segmento OP, medido no sentido anti-horário, mostre que
os pontos P e P' são simétricos em relação a qualquer ponto Q de coordenadas Q( x, – x · cotg(θ) ), com x real.
Sendo θ o ângulo que a semirreta Ox forma com o segmento OP, medido no sentido anti-horário, mostre que
os pontos P e P' são simétricos em relação a qualquer ponto Q de coordenadas Q( x, – x · cotg(θ) ), com x real.
More Questions From This User See All
Lista de comentários
Verified answer
Se os pontos são antípodas, então o segmento de reta que une tais pontos é igual ao diâmetro da esfera na qual estão situados os pontos.Imaginemos o ciclo trigonométrico como uma esfera de duas dimensões, podemos afirmar que o segmento de reta que liga tais pontos é igual ao diâmetro da circunferência.
Como o diâmetro de uma circunferência é a maior corda que liga dois pontos situados sobre a circunferência, então essa corda passa pelo centro da circunferência.
Sendo assim imaginemos que o segmento que une P e P' está contido na reta (r) linear de equação:
Seu coeficiente angular m, em relação ao eixo x é:
Sendo assim
Por definição dois pontos são simétricos em relação a uma reta se, e somente se, esta for reta mediatriz do segmento que liga tais pontos.
Sendo assim, devemos descobrir qual é a reta mediatriz do segmento que une P e P' (segmento este que está contido em r).
Para isto, usaremos a seguinte definição:
Se duas retas são perpendiculares, então o produto entre seus coeficientes angulares deve ser igual a menos um.
Portanto:
Denominando a reta mediatriz de s, temos:
Lembrando que:
A função que representa a reta s mediatriz do segmento de reta que liga P e P' é:
Qualquer ponto Q desta reta (s) possui coordenadas (x, -(cotg θ )x).
Como r ⊥ s, e o ponto médio do segmento que liga P e P' pertence à s, quaisquer pontos Q que estiverem sobre s são equidistantes de P e P'.
Simulação no Geogebra: https://www.geogebra.org/m/fxpFNY8j