Propriedades dos somatórios:Sabendo que k · 10^k = (1/81) · [(9n – 1) · 10^(n + 1) + 10],obtenha uma.... Pergunta de ideia deLukyo

December 2019 1 190 Report

Propriedades dos somatórios:

Sabendo que

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n}$ k · 10^k = (1/81) · [(9n – 1) · 10^(n + 1) + 10],

obtenha uma fórmula fechada para

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n}$ k · 10^(– k).

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superaks

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Olá Lukyo

No final da resposta terá um anexo com todas as propriedades utilizadas para elucidar melhor a resposta

__________

Pela propriedade do somatório, através de uma troca de ordem de variável, podemos somar de frente para trás e de trás para frente, que o resultado se mantém, ou seja

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_{n-k}}$

Portanto, temos a seguinte igualdade

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k\cdot10^{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n (n-k)\cdot10^{n-k}}$

Vamos mexer nessa igualdade, de forma que apareça o somatório que queremos achar, ou seja

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k\cdot10^{-k}}$

Organizando e desenvolvendo a igualdade

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k\cdot10^{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n (n-k)\cdot10^{n}\cdot10^{-k}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k\cdot10^{k}=10^n\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^n (n-k)\cdot10^{-k}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k\cdot10^{k}=10^n\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^n (n\cdot 10^{-k}-k\cdot10^{-k})}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^k=10^n\cdot\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}-10^n\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}}$

Isole $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n k\cdot10^{-k}}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^k=10^n\cdot\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}-10^n\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^k+10^n\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=10^n\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^nn\cdot10^{-k}}\\\\\\\\\mathsf{10^n\cdot\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=10^n\displaystyle\sum_{k=0}^nn\cdot10^{-k}-\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^k}$

Multiplique ambos os lados por $\mathsf{\dfrac{1}{10^n}}$

$\mathsf{\Big(\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!\!\!10^n}\Big)\cdot\diagup\!\!\!\!\!\!10^n\cdot\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=\Big(\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!\!10^n}\Big)\cdot\diagup\!\!\!\!\!10^n\displaystyle\sum_{k=0}^nn\cdot10^{-k}-\Big(\dfrac{1}{10^n}\Big)\cdot\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^k}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^nn\cdot10^{-k}-\Big(\dfrac{1}{10^n}\Big)\cdot\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^k}$

Achando a fórmula fechada do somatório $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nn\cdot10^{-k}}}$

Pela propriedade telescópica, temos que

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n\Delta a_{k}=a_{n+1}-a_0}}}$

Tomando $\mathsf{a_k=10^{-k}}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n\Delta a_k=\displaystyle\sum_{k=0}^n 10^{-(k+1)}-10^{-k}=10^{-(n+1)}-10^{0}}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n 10^{-k-1}-10^{-k}=10^{-n-1}-1}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n10^{-k-1}-10^{-k}=10^{-n-1}-1}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n 10^{-k}\cdot(10^{-1}-1)=10^{-n-1}-1}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n 10^{-k}\cdot(10^{-1}-1)=10^{-n-1}-1}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n \Big(\dfrac{n}{10^{-1}-1}\Big)\cdot 10^{-k}\cdot(10^{-1}-1)=\Big(\dfrac{n}{10^{-1}-1}\Big)\cdot10^{-n-1}-1}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}=n\cdot\big(\dfrac{10^{-n-1}-1}{10^{-1}-1}\Big)}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(\dfrac{10^{-n-1}-1}{\dfrac{1}{10}-\dfrac{10}{10}}\Big)}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(\dfrac{10^{-n-1}-1}{\dfrac{-9}{10}}\Big)}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(10^{-n-1}-1\cdot\Big(\dfrac{10}{-9}\Big)}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(\dfrac{10^{-n-1+1}-10}{-9}\Big)}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n n\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(\dfrac{10-10^{-n}}{9}\Big)}$

Como já temos a fórmula fechada dos dois somatórios do lado direito, basta substitui-los na equação

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(\dfrac{10-10^{-n}}{9}\Big)-\Big(\dfrac{1}{10^n}\Big)\cdot\Big[\dfrac{(9n-1)\cdot10^{n+1}+10}{81}\Big]}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(\dfrac{10-10^{-n}}{9}\Big)-\Big(\dfrac{1}{10^n}\Big)\cdot\Big[\dfrac{(9n-1)\cdot10^{n+1}+10}{81}\Big]}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=n\cdot\Big(\dfrac{10-10^{-n}}{9}\Big)-\Big[\dfrac{9n\cdo10^{n+1}-10^{n+1}+10}{81\cdot10^n}\Big]}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=\dfrac{9\cdot10^n}{9\cdot10^n}\cdot\Big(\dfrac{n\cdot10-n\cdot10^{-n}}{9}\Big)-\Big[\dfrac{9n\cdot10^{n+1}-10^{n+1}+10}{81\cdot10^n}\Big]}$

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=\Big(\dfrac{9n\cdot10^{n+1}-9n\cdot10^{-n+n}}{81\cdot10^n}\Big)-\Big[\dfrac{9n\cdot10^{n+1}-10^{n+1}+10}{81\cdot10^n}\Big]}\\\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!9n\cdot10^{n+1}-9n-\diagup\!\!\!\!\!\!9n\cdot10^{n+1}+10^{n+1}-10}{81\cdot10^n}}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot10^{-k}=\dfrac{-9n+10^{n+1}-10}{81\cdot10^n}}}$

Encontrada a formula fechada que pede o enunciado

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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