A soma dos n primeiros termos de uma sequência {aₙ} é dada porSₙ = cos(2ⁿ) − cos(1), n ∈ ℕ*.A lei de.... Pergunta de ideia deLukyo

November 2019 1 241 Report

A soma dos n primeiros termos de uma sequência {aₙ} é dada por

Sₙ = cos(2ⁿ) − cos(1), n ∈ ℕ*.

A lei de formação para a sequência {aₙ} é

A) aₙ = 2 sen(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)
B) aₙ = 2 cos(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)
C) aₙ = − 2 sen(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)
D) aₙ = 2 sen(3 ∙ 2ⁿ⁻²) cos(2ⁿ⁻²)
E) aₙ = − 2 cos(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)

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superaks

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Olá Lukyo.

Identidade usada:

$\star~~\boxed{\boxed{\mathsf{cos(\alpha\pm\beta)=cos(\alpha)\cdot cos(\beta) \mp sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}}}$

______________________________

Temos que:

$\mathsf{S_n=cos(2^n)-cos(1)~~n\geq1}$

$\mathsf{S_n}$ pode ser escrito como a soma dos n - 1 primeiros termos mais o último termo,
ou seja.

$\mathsf{S_{n}= S_{n - 1} + a_n}$

Note que:

$\mathsf{S_{n-1}=cos(2^{n-1})-cos(1)}$

Substituindo

$\mathsf{a_n=S_n - S_{n-1}=cos(2^n)-cos(1)-cos(2^{n-1})+cos(1)=cos(2^n)-cos(2^{n-1})}\\\\\\\mathsf{a_n=cos(2^n)-cos(2^{n-1})}$

A ideia agora é deixar $\mathsf{a_n}$ com a cara de uma das alternativas. Como todas são produtos, vamos transformar nosso $\mathsf{a_n}$ em um produto também.

Pela identidade do ínicio, temos que:

$\mathsf{cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)\cdot cos(\beta)+sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}\\\\\\\mathsf{cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)\cdot cos(\beta)-sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}$

Fazendo a diferença da segunda equação pela primeira.

$\mathsf{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)=-2sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}$

Fazendo $\mathsf{\alpha+\beta=2^n}$ e $\mathsf{\alpha-\beta=2^{n-1}}$ , temos:

$\begin{cases}\mathsf{\alpha+\beta=2^n}\\\\\mathsf{\alpha-\beta=2^{n-1}}\end{cases}$

$\mathsf{2\alpha=2^n+2^{n-1}}\\\\\mathsf{\alpha=2^{n-1}+2^{n-2}=2\cdot2^{n-2}+2^{n-2}=3\cdot2^{n-2}}}}$

Achando $\mathsf{\beta}$

$\mathsf{\alpha+\beta=2^{n}}\\\\\mathsf{\beta=2^2\cdot2^{n-2}-3\cdot2^{n-2}=2^{n-2}}}$

Portanto temos:

$\mathsf{a_n=cos(2^n)-cos(2^{n-1})=-2sen(3\cdot2^{n-2})\cdot sen(2^{n-2})}}$

$\mathsf{a_n=-2sen(3\cdot2^{n-2})\cdot sen(2^{n-2})}}$

Alternativa C

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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