Calcule a integral indefinida:.... Pergunta de ideia deLukyo

December 2019 1 136 Report

Calcule a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{1-2x-x^2}{(1+x^2)^2}\,dx}$

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albertrieben Boa noite Lukyo

∫ (1 - 2x - x²)/(1 + x²)² dx

achei uma resolução original

seja as funções f(x) = ax + b e g(x) = 1 + x² , f'(x) = a , g'(x) = 2x

sabemos que a derivada de um quociente é

(f(x)/g(x))' = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / g(x)²

(f(x)/g(x))' = ( a*(1 + x²) - (ax + b)*2x )/(1 + x²)²

agora vamos encontrar os valores de "a" e "b" da função f(x)

a + (1 - 2a)x² - 2bx = 1 - 2x - x²

1 - 2a = -1
2a = 2
a = 1

-2b = -2
b = -2/-2 = 1

f(x) = x + 1

portanto

∫ (1 - 2x - x²)/(1 + x²)² dx = f(x)/g(x) + C

∫ (1 - 2x - x²)/(1 + x²)² dx = (x + 1)/(1 + x²) + C

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Lukyo O denominador do resultado apareceu ao quadrado..

albertrieben aguarde vou verificar

Lukyo Mas derivando essa não chega na que está no início

albertrieben errei vou editar

albertrieben agora esta certo ∫ (1 - 2x - x²)/(1 + x²)² dx = f(x)/g(x) + C = (x + 1)/(1 + x²) + C

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