(CÁLCULO 2) - Sendo E a região sólida interna à esfera , limitada por cima pelo cone z = e por bai.... Pergunta de ideia deNiselinz

August 2019 1 102 Report

(CÁLCULO 2) - Sendo E a região sólida interna à esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$ , limitada por cima pelo cone z = $\sqrt{ \frac{ x^{2} + y^{2} }{2} }$ e por baixo pelo plano xy.

→ Expressar a integral que representa o volume de E em coordenadas cilíndricas.

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carlosmath

(1) Proyección ortogonal de E sobre el plano XY:

$x^2+y^2+\dfrac{x^2+y^2}{2}=2\\ \\ \\ \boxed{x^2+y^2=\dfrac{4}{3}}$

Base del sólido E sera entonces: $E_{xy}=\left\{(x,y):x^2+y^2=\dfrac{4}{3}\right\}$

(2) Volumen de E

$\displaystyle \mu(E)=\iint_{E_{xy}}\sqrt{2-x^2-y^2}-\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}~dx~dy$

(3) Coordenadas polares

$E_{x,y}\to E_{r,\theta}=\left\{(r,\theta): 0\leq r\leq \dfrac{2}{\sqrt3}~;~0\leq \theta <2\pi\right\}\\ \\ \\ \displaystyle \mu(E)=\iint_{E_{r,\theta}}\left(\sqrt{2-r^2}-\dfrac{r}{\sqrt{2}}\right)r~dr~d\theta$