Verified answer

Olá, Nise =)

Se fôssemos realizar a integração em x e y, teríamos que separar a integral dupla sobre o compacto em duas outras integrais duplas. Nada muito complicado, mas um pouco mais longo. A mudança de variável é linear, ela vai manter as retas que limitam a região em retas, mas rotacionando a região. Vamos descobrir os pontos (u,v).

Para (x, y) = (0, 0) , vamos na transformação. Multiplicamos a expressão de y por 2 para facilitar a resolução do sistema:

2u + v = 0

2u + 4v = 0

v = 0

u = 0 → (u, v) = (0, 0)

Para (x, y) = (2, 1)

2u + v = 2

2u + 4v = 2

v = 0

u = 1 → (u, v) = (1, 0)

Para (x, y) = (1, 2):

2u + v = 1

2u + 4v = 4

v = 1

u = 0 → (u, v) = (0, 1)

Então o novo limite será o triângulo de vértices (0, 0); (1, 0) e (0, 1), bem mais simples que o anterior e pode ser feito numa única integral.

Porém, não existe almoço grátis na natureza. Ao fazermos a transformação, devemos pagar um preço, que é multiplicar a função do integrando pelo módulo do determinante Jacobiano da transformação.

Assim, integraremos em u e v. O domínio é: e

Agora integramos:

Portanto, a integral dupla vale 9/2.