(CÁLCULO 2) Veja que f: R³ ----> R e que a função f (x, y, z) = x³ 
Mostrar que f (x, y, z) é diferenciável no ponto (2, 3, 4).
Mostrar que f (x, y, z) é diferenciável no ponto (2, 3, 4).
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BlackShot
May 2020 | 0 Respostas
(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2R, onde = 3.R.: aproximadamente 7,2 metros.IMAGEM:
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A rigor, uma prova de que uma função é diferenciável pede que resolvamos um limite complicado de três variáveis. Porém, se provar que um limite existe pode ser complicado mesmo no cálculo com uma variável, se estendermos para 3 variáveis, sem sequer termos uma ferramenta como a regra de L'Hospital, a prova desse limite pediria teoremas obscuros e identidades insólitas.
Vamos usar outro modo, igualmente correto e diversas vezes mais simples. Existe uma Condição suficiente para a diferenciabilidade. Que diz que:
Se uma função de n variáveis admite todas as suas derivadas parciais contínuas em uma n-bola aberta, então f será diferenciável.
Veja que esse teorema é bem forte, e vamos ver se podemos aplicá-lo:
Bingo! Veja que todas as funções parciais são contínuas em alguma 3-bola aberta. Vemos isso facilmente porque o limite quando fazemos (x,y,z) → (2, 3, 4) é justamente o valor da função derivada parcial de qualquer coordenada nesse ponto.
Como todas as derivadas parciais são contínuas em alguma 3-bola aberta centrada em (2, 3, 4), temos que f(x,y,z) é diferenciável em (2, 3, 4)