Cálculo: Integração por partes.
Calcule a integral indefinida:
∫ cos(ln x) dx
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Favor não usar números complexos.
Calcule a integral indefinida:
∫ cos(ln x) dx
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Favor não usar números complexos.
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Boa noite, Lukyo.Calcular a integral ∫ cos(ln x) dx
Lembrando da integração por partes e regra da cadeia:
Partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du
Regra da Cadeia: [f(g(x))]' = g'(x).f'(g(x))
Façamos o seguinte:
u = cos(ln x)
du = -sen(ln x) / x
dv = dx
v = x
Logo, vem:
∫ cos(ln x) dx = x.cos(ln x) - ∫ x . (-sen(ln x) / x) dx
∫ cos(ln x) dx = x.cos(ln x) + ∫ sen(ln x) dx
Vamos observar a segunda integral. Note que ela é semelhante à primeira, então vamos resolvê-la por partes novamente, fazendo:
U = sen(ln x)
dU = cos(ln x) / x
dV = dx
V = x
∫ sen(ln x) dx = x.sen(ln x) - ∫ cos(ln x)dx
Substituímos acima:
∫ cos(ln x) dx = x.cos(ln x) + x.sen(ln x) - ∫ cos(ln x) dx
Veja que podemos somar ∫ cos(ln x) dx dos dois lados e isolar essa integral:
2∫ cos(ln x) dx = x[cos(ln x) + sen(ln x)]
∫ cos(ln x) dx = (x / 2).[cos(ln x) + sen(ln x)] + C
Essa é a resposta.
Note que calculei uma integral restrita para C = 0 para depois generalizar para todas as famílias de funções que satisfazem à condição, por questões de simplificação dos cálculos.